Лучшие вопросы
Таймлайн
Чат
Перспективы
Площадь фигуры
аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости Из Википедии, свободной энциклопедии
Remove ads
Площадь плоской фигуры — аддитивная числовая характеристика фигуры, целиком принадлежащей одной плоскости. В простейшем случае, когда фигуру можно разбить на конечное множество единичных квадратов, площадь равна числу квадратов.
Об определении
Суммиров вкратце
Перспектива
Формальное введение понятия площадь и объём можно найти в статье мера Жордана, здесь мы приводим лишь намётки определения с комментариями.
Площадь — это вещественнозначная функция, определённая на определённом классе фигур евклидовой плоскости и удовлетворяющая четырём условиям:
- Положительность — площадь неотрицательна;
- Нормировка — квадрат со стороной единица имеет площадь 1;
- Конгруэнтность — конгруэнтные фигуры имеют равную площадь;
- Аддитивность — площадь объединения двух фигур без общих внутренних точек равна сумме площадей.
При этом определённый класс должен быть замкнут относительно пересечения и объединения, а также относительно движений плоскости и включать в себя все многоугольники. Из этих аксиом следует монотонность площади, то есть
- Если одна фигура принадлежит другой фигуре, то площадь первой не превосходит площади второй:
Чаще всего за «определённый класс» берут множество квадрируемых фигур. Фигура называется квадрируемой, если для любого существует пара многоугольников и , такие что и , где обозначает площадь .
Примеры квадрируемых фигур:
- многоугольники;
- любая фигура, ограниченная спрямляемой кривой, в частности круг;
- фигура, ограниченная снежинкой Коха, хотя её граница не спрямляема.
Remove ads
Связанные определения
- Две фигуры называются равновеликими, если они имеют равную площадь.
Комментарии
- Существует математически строгий, но неоднозначный способ определить площадь для всех ограниченных подмножеств плоскости. То есть на множестве всех ограниченных подмножеств плоскости существуют различные функции площади, удовлетворяющие вышеприведённым аксиомам, а множество квадрируемых фигур является максимальным множеством фигур, на которых площадь определяется однозначно.
- То же самое можно сделать для длины на прямой, но нельзя для объёма в евклидовом пространстве и также нельзя для площади на единичной сфере в евклидовом пространстве (смотри соответственно парадокс удвоения шара и парадокс Хаусдорфа).
Формулы

Remove ads
См. также
- Исчезновение клетки
- Мера Бореля
- Мера Жордана
- Мера Лебега
- Ориентированная площадь
- Площадь
- Площадь поверхности
- Теорема Бойяи — Гервина о равносоставленности равновеликих многоугольников
- Треугольник о площадях треугольников
- Четырехугольник о площадях четырехугольников
Литература
- В. Болтянский, О понятиях площади и объёма. Архивная копия от 5 мая 2017 на Wayback Machine Квант, № 5, 1977
- Б. П. Гейдман, Площади многоугольников Архивная копия от 10 июня 2017 на Wayback Machine, Библиотека «Математическое просвещение», выпуск 16, (2002).
- §§ 244—276 в А. П. Киселёв. Геометрия по Киселёву. arXiv:1806.06942 [math.HO].
- Мерзон Г. А., Ященко И. В. Длина, площадь, объем. — МЦНМО, 2011. — ISBN 9785940577409.
- В. А. Рохлин, Площадь и объём Архивная копия от 11 апреля 2021 на Wayback Machine, Энциклопедия элементарной математики, Книга 5, Геометрия, под редакцией П. С. Александрова, А. И. Маркушевича и А. Я. Хинчина.
Remove ads
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads