Формула Кирхгофа

Фо́рмула Ки́рхгофа^[1] — аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного (Формула Пуассона) и одномерного (Формула Д’Аламбера) уравнения.

Полная формулировка задачи и ответа

Рассмотрим уравнение

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-a^{2}\triangle u=f}$, где функции ${\displaystyle u=u(\mathbf {x} ,t)}$ и ${\displaystyle f=f(\mathbf {x} ,t)}$ определены на ${\displaystyle (\mathbf {x} ,t)\in \mathbb {R} ^{n}\times \mathbb {R} ^{+}}$, а ${\displaystyle \triangle }$ — оператор Лапласа.

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в ${\displaystyle n}$-мерной однородной среде со скоростью ${\displaystyle a}$ в моменты времени ${\displaystyle t>0}$.

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени ${\displaystyle t=0}$:

${\displaystyle u|_{t=0}=\varphi _{0}({\bar {x}}),\quad \left.{\frac {\partial u}{\partial t}}\right|_{t=0}=\varphi _{1}({\bar {x}})}$

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи в трёхмерном случае:

${\displaystyle u(\mathbf {x} ,t)={\frac {\partial }{\partial t}}\left[{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\iint \limits _{S}\varphi _{0}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}\right]+{\frac {1}{4\pi a^{2}t}}\iint \limits _{S}\varphi _{1}(\mathbf {y} )d^{2}S_{n}+{\frac {1}{4\pi a^{2}}}\iiint \limits _{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|\leqslant at}{\frac {f\left(\mathbf {y} ,t-{\frac {\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}{a}}\right)}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|}}d^{3}\mathbf {y} }$

где поверхностные интегралы берутся по сфере ${\displaystyle S\colon \left|\mathbf {x} -\mathbf {y} \right|=at}$.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье.

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени ${\displaystyle t=0}$ на некотором компакте ${\displaystyle M}$ есть локальное возмущение (${\displaystyle \varphi _{0}\neq 0}$ и/или ${\displaystyle \varphi _{1}\neq 0}$). Если мы находимся в некоторой точке ${\displaystyle {\bar {x}}_{0}\in \mathbb {R} ^{3}}$, то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время ${\displaystyle t_{1}={\frac {1}{a}}\inf _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|}$.

Вне отрезка времени ${\displaystyle \left[t_{1};t_{2}\right]}$, где ${\displaystyle t_{2}={\frac {1}{a}}\sup _{{\bar {y}}\in M}\left|{\bar {y}}-{\bar {x}}_{0}\right|}$, функция ${\displaystyle u(x_{0},t)}$ равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$, уже не будет компактным в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).^[2]

Формула Пуассона — Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны (двумерного пространства)

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}\triangle u+f}$

(функция ${\displaystyle f(x,t)}$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)}$

задаётся формулой:

${\displaystyle u({\bar {x}},t)=u(x_{1},x_{2},t)={\frac {1}{2\pi a}}\int \limits _{0}^{t}\iint \limits _{r<a(t-\tau )}{\frac {f(y_{1},y_{2},\tau )dy_{1}dy_{2}d\tau }{\sqrt {a^{2}(t-\tau )^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}+{\frac {\partial }{\partial t}}{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\varphi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}+{\frac {1}{2\pi a}}\iint \limits _{r<at}{\frac {\psi (y_{1},y_{2})dy_{1}dy_{2}}{\sqrt {a^{2}t^{2}-(y_{1}-x_{1})^{2}-(y_{2}-x_{2})^{2}}}}}$.

Формула Д'Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

${\displaystyle u_{tt}=a^{2}u_{xx}+f\quad }$ (функция ${\displaystyle f(x,t)}$ соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

${\displaystyle u(x,0)=\varphi (x),\quad u_{t}(x,0)=\psi (x)}$

имеет вид^[3]

${\displaystyle u(x,t)={\frac {\varphi (x+at)+\varphi (x-at)}{2}}+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{x-at}^{x+at}{\psi (\alpha )d\alpha }+{\frac {1}{2a}}\int \limits _{0}^{t}\int \limits _{x-a(t-\tau )}^{x+a(t-\tau )}f(s,\tau )dsd\tau }$

В область ${\displaystyle \mathrm {II} }$ приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д’Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1}\times [0,T]}$. Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: ${\displaystyle u(x,t)=f(x+at)+g(x-at)}$, то есть оно определяется двумя семействами характеристик: ${\displaystyle x+at=\xi ,\ x-at=\eta }$. Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии ${\displaystyle x\geq 0}$. Видно, что в область ${\displaystyle \mathrm {I} }$ приходят как ${\displaystyle \xi }$-характеристики, так и ${\displaystyle \eta }$-характеристики, в то время как в области ${\displaystyle \mathrm {II} }$ есть только ${\displaystyle \xi }$-характеристики. То есть, в области ${\displaystyle \mathrm {II} }$ формула Д’Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения ${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle u+f({\bar {x}},t)}$ с начальными условиями ${\displaystyle u({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ u_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}})}$ и искать решение в виде суммы трех функций: ${\displaystyle u(x,t)=A(x,t)+B(x,t)+C(x,t)}$, которые удовлетворяют следующим условиям:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}A}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle A+f({\bar {x}},t),\qquad A({\bar {x}},0)=0,\ A_{t}({\bar {x}},0)=0;}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}B}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle B,\qquad B({\bar {x}},0)=\varphi _{0}({\bar {x}}),\ B_{t}({\bar {x}},0)=0;}$

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=a^{2}\triangle C,\qquad C({\bar {x}},0)=0,\ {\mathit {C}}_{t}({\bar {x}},0)=\varphi _{1}({\bar {x}}).}$

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путём замены переменных. Например, пусть ${\displaystyle \varphi _{1}(x,y,z)={\frac {1}{1+(x+3y-2z)^{2}}}}$. Тогда после замены ${\displaystyle \xi =x+3y-2z}$ уравнение для задачи «С» примет вид:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}C}{\partial t^{2}}}=14a^{2}{\frac {\partial ^{2}C}{\partial \xi ^{2}}},\qquad {\mathit {C}}(\xi ,0)=0,\ C_{t}(\xi ,0)={\frac {1}{1+\xi ^{2}}}.}$

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д’Аламбера:

${\displaystyle C(\xi ,t)={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\int \limits _{\xi -{\sqrt {14}}at}^{\xi +{\sqrt {14}}at}{\frac {d\eta }{1+\eta ^{2}}}={\frac {1}{2{\sqrt {14}}a}}\left(\operatorname {arctg} (\xi +{\sqrt {14}}at)-\operatorname {arctg} (\xi -{\sqrt {14}}at)\right).}$

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области ${\displaystyle t>0}$.