Функции Вейерштрасса

В математике функции Вейерштрасса — это специальные функции комплексного переменного, вспомогательные по отношению к эллиптической функции Вейерштрасса, названные в честь Карла Вейерштрасса. Соотношение между сигма-, дзета- и ${\displaystyle \wp }$-функциями аналогично функциям синуса, котангенса и квадрата косеканса: логарифмическая производная синуса — это котангенс, производная которого отрицательна квадрату косеканса.^[1]

Сигма-функция Вейерштрасса

График сигма-функции с использованием раскраски области определения.

Сигма-функция Вейерштрасса связана с двумерной решеткой ${\displaystyle \Lambda \subset \mathbb {C} }$ и определяется следующим произведением

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}&=z\prod _{w\in \Lambda ^{*}}\left(1-{\frac {z}{w}}\right)\exp \left({\frac {z}{w}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{w}}\right)^{2}\right)\\[5mu]&=z\prod _{\begin{smallmatrix}m,n=-\infty \\\{m,n\}\neq 0\end{smallmatrix}}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)\exp {\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{m\omega _{1}+n\omega _{2}}}\right)^{2}\right)}\end{aligned}}}$

где ${\displaystyle \Lambda ^{*}}$ обозначает ${\displaystyle \Lambda -\{0\}}$, а ${\displaystyle (\omega _{1},\omega _{2})}$ есть фундаментальная пара периодов.

Благодаря тщательному использованию теоремы Вейерштрасса о целых функциях, которая так же относится к функции синуса, можно получить ещё одно, потенциально более понятное, определение с помощью бесконечного произведения

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}={\frac {\omega _{i}}{\pi }}\exp {\left({\frac {\eta _{i}z^{2}}{\omega _{i}}}\right)}\sin {\left({\frac {\pi z}{\omega _{i}}}\right)}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {\sin ^{2}{\left(\pi z/\omega _{i}\right)}}{\sin ^{2}{\left(n\pi \omega _{j}/\omega _{i}\right)}}}\right)}$

для любых ${\displaystyle \{i,j\}\in \{1,2,3\}}$ при ${\displaystyle i\neq j}$ и где использованы обозначения ${\displaystyle \eta _{i}=\zeta (\omega _{i}/2;\Lambda )}$ (см. дзета-функцию ниже). Это также «квазипериодическая» функция со следующим свойством:

${\displaystyle \sigma (z+2\omega _{i})=-e^{2\eta _{i}(z+\omega _{i})}\sigma (z)}$

Сигма-функцию можно использовать для представления эллиптической функции: ${\displaystyle f(z+\omega _{i})=f(z)\quad i\in \{1,\ldots ,n\}}$ и, зная её нули и полюса, лежащие в параллелограмме периода:

${\displaystyle f(z)=c\prod _{j=1}^{n}{\frac {\sigma (z-a_{j})}{\sigma (z-b_{j})}}}$

где ${\displaystyle c}$ константа из ${\displaystyle \mathbb {C} }$, а ${\displaystyle a_{j}}$ - нули и ${\displaystyle b_{j}}$ - полюса содержащиеся в параллелограмме.

Дзета-функция Вейерштрасса

График дзета-функции с использованием раскраски области определения

Дзета-функция Вейерштрасса определяется суммой

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {\sigma '(z;\Lambda )}{\sigma (z;\Lambda )}}={\frac {1}{z}}+\sum _{w\in \Lambda ^{*}}\left({\frac {1}{z-w}}+{\frac {1}{w}}+{\frac {z}{w^{2}}}\right).}$

Дзета-функция Вейерштрасса — это логарифмическая производная сигма-функции. Её можно переписать следующим образом:

${\displaystyle \operatorname {\zeta } {(z;\Lambda )}={\frac {1}{z}}-\sum _{k=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{2k+2}(\Lambda )z^{2k+1}}$

где ${\displaystyle {\mathcal {G}}_{2k+2}}$ это ряд Эйзенштейна с весом 2 к + 2.

Производная дзета-функции равна ${\displaystyle -\wp (z)}$, где ${\displaystyle \wp (z)}$ — эллиптическая функция Вейерштрасса.

Дзета-функцию Вейерштрасса не следует путать с дзета-функцией Римана в теории чисел и прочими дзета-функциями, так как они совпадают лишь в названии.

Эта-функция Вейерштрасса

Эта-функция Вейерштрасса определяется как

${\displaystyle \eta (w;\Lambda )=\zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda ),{\mbox{ для любого }}z\in \mathbb {C} }$ и любого ${\displaystyle w}$ в решётке ${\displaystyle \Lambda }$

Это определение однозначно, т.е. ${\displaystyle \zeta (z+w;\Lambda )-\zeta (z;\Lambda )}$ зависит только от вектора решётки ${\displaystyle w}$. Эта-функцию Вейерштрасса не следует путать ни с эта-функцией Дедекинда, ни с эта-функцией Дирихле.

℘-функция Вейерштрасса

График p-функции с использованием раскраски области определения

Функция Вейерштрасса ℘ связана с дзета-функцией соотношением

${\displaystyle \operatorname {\wp } {(z;\Lambda )}=-\operatorname {\zeta '} {(z;\Lambda )},{\mbox{ для любого }}z\in \mathbb {C} }$

℘-функция Вейерштрасса — чётная эллиптическая функция порядка N=2 с двойным полюсом в каждой точке решётки, без других полюсов.

Вырожденный случай

Рассмотрим ситуацию, когда один период является вещественным, который мы можем масштабировать до значения ${\displaystyle \omega _{1}=2\pi }$, а другой стремится к пределу ${\displaystyle \omega _{2}\rightarrow i\infty }$ так, что функции являются только однопериодическими. Соответствующие инварианты есть${\displaystyle \{g_{2},g_{3}\}=\left\{{\tfrac {1}{12}},{\tfrac {1}{216}}\right\}}$ дискриминанта ${\displaystyle \Delta =0}$. Тогда имеем ${\displaystyle \eta _{1}={\tfrac {\pi }{12}}}$ и, таким образом, из приведённого выше определения бесконечного произведения следует следующее равенство:

${\displaystyle \operatorname {\sigma } {(z;\Lambda )}=2e^{z^{2}/24}\sin {\left({\tfrac {z}{2}}\right)}}$

Обобщение для других синусоидальных функций на других двоякопериодических решетках:

${\displaystyle f(z)={\frac {\pi }{\omega _{1}}}e^{-(4\eta _{1}/\omega _{1})z^{2}}\operatorname {\sigma } {(2z;\Lambda )}}$