Центральное многообразие

Центра́льное многообра́зие особой точки автономного обыкновенного дифференциального уравнения — инвариантное многообразие в фазовом пространстве, проходящее через особую точку и касающееся инвариантного центрального подпространства линеаризации дифференциального уравнения.^[1] Важный объект изучения теории дифференциальных уравнений и динамических систем. В некотором смысле, вся нетривиальная динамика системы в окрестности особой точки сосредоточена на центральном многообразии.^[2]

Формальное определение

Рассмотрим автономное дифференциальное уравнение с особой точкой 0:

${\displaystyle {\dot {x}}=Ax+f(x),\quad (*)}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$, ${\displaystyle A}$ — линейный оператор, ${\displaystyle f(x)}$ — гладкая функция класса ${\displaystyle C^{k+1}}$, причем ${\displaystyle f(0)=0}$ и ${\displaystyle Df(0)=0}$. Иными словами, ${\displaystyle Ax}$ — линеаризация векторного поля в особой точке 0.

подпространство	название	спектр A
${\displaystyle T^{s}}$	устойчивое (stable)	${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda <0}$
${\displaystyle T^{u}}$	неустойчивое (unstable)	${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda >0}$
${\displaystyle T^{c}}$	центральное (center)	${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda =0}$

Согласно классическим результатам линейной алгебры, линейное пространство раскладывается в прямую сумму трех ${\displaystyle A}$-инвариантных подпространств ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}\oplus T^{c}}$, где ${\displaystyle T^{s},T^{u},T^{c}}$ определяются знаком вещественной части соответствующих собственных значений (см. табл.)

Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованной системы ${\displaystyle {\dot {x}}=Ax}$, решением которой является матричная экспонента ${\displaystyle x(t)=e^{At}x_{0}}$. Оказывается, динамика системы в окрестности особой точки по своим свойствам близка к динамике линеаризованной системы. Точнее, справедливо следующее утверждение:^[3][4]

Теорема (о центральном многообразии).

Предположим, что правая часть дифференциального уравнения (*) принадлежит классу ${\displaystyle C^{k}}$, ${\displaystyle 2\leq k<\infty }$. Тогда в окрестности особой точки существуют многообразия ${\displaystyle W^{s},W^{u}}$ и ${\displaystyle W^{c}}$ классов ${\displaystyle C^{k},C^{k}}$ и ${\displaystyle C^{k-1}}$ соответственно, инвариантные относительно фазового потока дифференциального уравнения. Они касаются в начале координат подпространств ${\displaystyle T^{s},T^{u}}$ и ${\displaystyle T^{c}}$ и называются устойчивым, неустойчивым и центральным многообразиями соответственно.

В случае, когда правая часть уравнения (*) принадлежит классу ${\displaystyle C^{\infty }}$, многообразия ${\displaystyle W^{s}}$ и ${\displaystyle W^{u}}$ также принадлежат классу ${\displaystyle C^{\infty }}$, но центральное многообразие ${\displaystyle W^{c}}$, вообще говоря, может быть лишь конечно-гладким. При этом для любого сколь угодно большого числа ${\displaystyle k}$ многообразие ${\displaystyle W^{c}}$ принадлежит классу ${\displaystyle C^{k}}$ в некоторой окрестности ${\displaystyle U_{k}}$, стягивающейся к особой точке при ${\displaystyle k\to \infty }$, так что пересечение всех окрестностей ${\displaystyle U_{k}}$ состоит лишь из самой особой точки^[5].

Устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия называются также гиперболическими, они определяются единственным образом; в то же время, локальное центральное многообразие определяется не единственным образом. Очевидно, что если система (*) линейна, то инвариантные многообразия совпадают с соответствующими инвариантными подпространствами оператора ${\displaystyle A}$.

Пример: седлоузел

Фазовый портрет седлоузловой особой точки. Красным выделено одно из возможных локальных центральных многообразий

Невырожденные особые точки на плоскости не имеют центрального многообразия. Рассмотрим простейший пример вырожденной особой точки: седлоузел вида

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=x^{2}\\{\dot {y}}=y\end{cases}}}$

Его неустойчивое многообразие совпадает с осью Oy и состоит из двух вертикальных сепаратрис ${\displaystyle \{x=0,y>0\}}$ и ${\displaystyle \{x=0,y<0\}}$ и самой особой точки. Остальные фазовые кривые задаются уравнением

${\displaystyle y(x)=y_{0}\exp \left({\frac {1}{x_{0}}}-{\frac {1}{x}}\right)}$,

где ${\displaystyle y(x_{0})=y_{0}}$.

Нетрудно видеть, что в левой полуплоскости единственная фазовая кривая, стремящаяся к особой точке, совпадает с лучом оси Ox ${\displaystyle \{x<0,y=0\}}$. В то же время, в правой полуплоскости существует бесконечно много (континуум) фазовых кривых, стремящихся к нулю — это графики функции y(x) для любого ${\displaystyle x_{0}>0}$ и любого ${\displaystyle y_{0}}$. В силу того, что функция y(x) является плоской в нуле, мы можем составить гладкое инвариантное многообразие из луча ${\displaystyle \{x<0,y=0\}}$, точки (0, 0) и любой траектории в правой полуплоскости. Любое из них локально будет центральным многообразием точки (0, 0).^[6]

Глобальные центральные многообразия

Если рассматривать уравнение (*) не в некоторой окрестности особой точки 0, а во всем фазовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$, можно дать определение глобального центрального многообразия. Неформально говоря, его можно определить как инвариантное многообразие, траектории на котором не стремятся к бесконечности (в прямом либо обратном времени) вдоль гиперболических направлений. В частности, глобальное центральное многообразие содержит все ограниченные траектории (а значит, и все предельные циклы, особые точки, сепаратрисные связки и т.д.) ^[7]

Рассмотрим проекции ${\displaystyle \pi _{s},\ \pi _{u},\pi _{c}}$ пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ на соответствующие инвариантные подпространства оператора ${\displaystyle A}$. Определим также подпространство ${\displaystyle T^{h}=T^{u}\oplus T^{s}}$ и проекцию ${\displaystyle \pi _{h}}$ на него. Центральным многообразием ${\displaystyle W^{c}}$ называется множество таких точек ${\displaystyle x}$ фазового пространства, что проекция траекторий, стартующих из ${\displaystyle x}$, на гиперболическое подпространство, ограничена. Иными словами

${\displaystyle W^{c}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\sup _{t\in \mathbb {R} }|\pi _{h}({\tilde {x}}(t,x))|<\infty \right\}}$,

где ${\displaystyle {\tilde {x}}(t,x)}$ — такое решение уравнения (*), что ${\displaystyle {\tilde {x}}(0,x)=x}$.^[8]

Для существования глобального центрального многообразия на функцию ${\displaystyle f(x)}$ необходимо наложить дополнительные условия: ограниченность и липшицевость с достаточно малой константой Липшица. В этом случае глобальное центральное многообразие существует, само является липшицевым подмногообразием в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ и определено единственным образом.^[8] Если потребовать от ${\displaystyle f(x)}$ гладкости порядка ${\displaystyle k}$ и малости производной, то глобальное центральное многообразие будет иметь гладкость порядка ${\displaystyle k}$ и касаться центрального инвариантного подпространства ${\displaystyle T^{c}}$ в особой точке 0. Из этого следует, что если рассматривать ограничение глобального центрального многообразия на малую окрестность особой точки, то оно будет локальным центральным многообразием — это один из способов доказательства его существования. Даже если система (*) не удовлетворяет условиям существования глобального центрального многообразия, её можно модифицировать вне какой-то окрестности нуля (домножив на подходящую гладкую срезающую функцию типа «шапочка»), так, чтобы эти условия стали выполняться, и рассмотреть ограничение имеющегося у модифицированной системы глобального центрального многообразия. Оказывается, можно сформулировать и обратное утверждение: можно глобализовать локально заданную систему и продолжить локальное центральное многообразие до глобального.^[9] Точнее, это утверждение формулируется следующим образом:^[10]

Теорема. Пусть ${\displaystyle f\in C^{k}(\mathbb {R} ^{n})}$, ${\displaystyle k\geq 1}$, ${\displaystyle f(0)=0}$, ${\displaystyle Df(0)=0}$ и ${\displaystyle W^{c}}$ — локальное центральное многообразие (*). Найдется такая малая окрестность нуля ${\displaystyle \Omega }$ и такая ограниченная на всем пространстве функция ${\displaystyle {\tilde {f}}(x)}$, совпадающая с ${\displaystyle f(x)}$ в ${\displaystyle \Omega }$, что уравнение (*) для функции ${\displaystyle {\tilde {f}}}$ имеет гладкое глобальное центральное многообразие, совпадающее в области ${\displaystyle \Omega }$ с ${\displaystyle W^{c}}$

Следует отметить, что переход от локальных задач к глобальным и наоборот часто используется при доказательстве утверждений, связанных с центральными многообразиями.

Принцип сведения

Как было сказано выше, нетривиальная динамика вблизи особой точки «сосредоточена» на центральном многообразии. Если особая точка гиперболическая (то есть линеаризация не содержит собственных значений с нулевой вещественной частью), то центрального многообразия у неё нет. В этом случае, согласно теореме Гробмана-Хартмана, векторное поле орбитально-топологически эквивалентно своей линеаризации, то есть с топологической точки зрения динамика нелинейной системы полностью определяется линеаризацией. В случае негиперболической особой точки топология фазового потока определяется линейной частью и ограничением потока на центральное многообразие. Это утверждение, называемое принципом сведения Шошитайшвили, формулируется следующим образом:^[11]

Теорема (А. Н. Шошитайшвили, 1975^[12]).

Предположим, что правая часть векторного поля (*) принадлежит классу ${\displaystyle C^{2}}$. Тогда в окрестности негиперболической особой точки оно орбитально-топологически эквивалентно произведению стандартного седла и ограничению поля на центральное многообразие:

${\displaystyle {\begin{cases}{\dot {x}}=w(x)\\{\dot {y}}=-y\\{\dot {z}}=z,\end{cases}}\quad x\in W^{c},\ y\in T^{s},\ z\in T^{u}}$