Гиперболическая неподвижная точка

Эта статья — о понятии в теории динамических систем. О понятии дифференциальной геометрии см. Гиперболическая точка.

Гиперболическая неподвижная точка (гиперболическая точка) — фундаментальное понятие, использующееся в теории динамических систем по отношению к отображениям (диффеоморфизмам) и векторным полям. В случае отображения гиперболической точкой называется неподвижная точка, в которой все мультипликаторы ${\displaystyle \mu _{i}}$ (собственные числа линеаризации отображения в данной точке) по модулю отличны от единицы. В случае векторных полей гиперболической точкой называется особая точка, в которой все собственные числа линеаризации поля ${\displaystyle \lambda _{i}}$ имеют ненулевые вещественные части.

Простейший пример гиперболической особой точки векторного поля — седло.

Устойчивое и неустойчивое многообразия

В гиперболической точке векторного поля (или диффеоморфизма) касательное пространство раскладывается в прямую сумму двух подпространств ${\displaystyle T^{u}}$ и ${\displaystyle T^{s}}$, инвариантных относительно оператора линейной части поля: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=T^{s}\oplus T^{u}}$. Подпространства ${\displaystyle T^{u}}$ и ${\displaystyle T^{s}}$ определяются соответственно условиями ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda _{i}>0}$, ${\displaystyle \operatorname {Re} \lambda _{i}<0}$ в случае векторных полей и условиями ${\displaystyle |\mu _{i}|>1}$, ${\displaystyle |\mu _{i}|<1}$ в случае диффеоморфизмов. Эти подпространства являются инвариантными многообразиями линеаризованного векторного поля (диффеоморфизма) в данной точке, они называются его неустойчивым и устойчивым, соответственно.

Неустойчивым и устойчивым многообразиями исходного нелинейного векторного поля (диффеоморфизма) называются его инвариантные многообразия ${\displaystyle W^{u}}$ и ${\displaystyle W^{s}}$, касающиеся соответственно подпространств ${\displaystyle T^{u}}$ и ${\displaystyle T^{s}}$ в рассматриваемой точке и имеющие те же размерности, что ${\displaystyle T^{u}}$ и ${\displaystyle T^{s}}$. Многообразия ${\displaystyle W^{u}}$ и ${\displaystyle W^{s}}$ определяются единственным образом^[1]. Отметим, что многообразия ${\displaystyle W^{u}}$ и ${\displaystyle W^{s}}$ существуют не только в случае гиперболических особых точек, однако в случае гиперболической точки сумма их размерностей равна размерности всего пространства, и других инвариантных многообразий, проходящих через данную особую точку, не существует^[1].

Теоремы о гиперболических точках

Теорема Гробмана — Хартмана. В окрестности гиперболической точки нелинейного диффеоморфизма (векторного поля) динамика отличается от таковой для соответствующего линейного отображения (векторного поля) непрерывной заменой координат.

Теорема Адамара — Перрона.^[2][3] В окрестности гиперболической точки гладкого (или аналитического) векторного поля или диффеоморфизма существуют неустойчивое и устойчивое многообразия ${\displaystyle W^{u}}$ и ${\displaystyle W^{s}}$ такого же класса гладкости (соответственно, аналитические), проходящие через данную точку.

Теорема Ченя.^[4][5] Если в окрестности гиперболической точки два ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладких векторных поля (диффеоморфизма) формально эквивалентны (т.е. переводятся друг в друга посредством формальной замены переменных, заданной формальными степенными рядами), то они ${\displaystyle C^{\infty }}$-гладко эквивалентны.

См. также

• Диффеоморфизм Аносова
• Гиперболическое множество
• Центральное многообразие

Литература

• Я. Г. Синай. Современные проблемы эргодической теории, — М.: Физматлит, 1995 (c. 137).
• В. И. Арнольд, Ю. С. Ильяшенко. Обыкновенные дифференциальные уравнения, Динамические системы – 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 1, ВИНИТИ, М., 1985, 7–140
• Марсден Дж., Мак Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.
• Ильяшенко Ю.С., Вейгу Л. Нелокальные бифуркации. — М.: МЦНМО-ЧеРо, 1999. — 416 с. — ISBN 5-900916-34-0.
• Каток А. Б., Хассельблат Б.^[нем.]. Введение в современную теорию динамических систем с обзором последних достижений / Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. — М.: МЦНМО, 2005. — 464 с. — ISBN 5-94057-063-1.