Цилиндрическая волна

Цилиндри́ческая волна́ — модель волнового процесса, волна, радиально расходящаяся от некоторой прямой в пространстве или сходящаяся к ней. Частным случаем цилиндрической волны на плоскости является круговая волна, расходящаяся от точки (сходящаяся к ней).

Фронт цилиндрической волны — цилиндрическая поверхность, на оси которой расположен источник, например, имеющий форму нити, то есть бесконечно тонкий и прямолинейный. Распространение фронта такой волны в пространстве можно сравнить с цилиндрической поверхностью, непрерывно увеличивающей свой радиус. Примером цилиндрической волны может служить волновой процесс на поверхности воды от колеблющегося поплавка, а также электромагнитная волна, создаваемая в ближней зоне линейной синфазной антенной.

Определение

Простейшая монохроматическая симметричная цилиндрическая волна с источником в центре удовлетворяет двумерному волновому уравнению и описывается с помощью функции Ганкеля нулевого порядка:

${\displaystyle u(r,t)=H_{0}(kr)\cdot e^{i\omega t},}$

(1.1)

где ${\displaystyle H_{0}(kr)}$ — функция Ганкеля нулевого порядка;

${\displaystyle i}$ — мнимая единица;

${\displaystyle \omega }$ — круговая частота;

${\displaystyle k}$ — волновое число;

${\displaystyle r}$ — расстояние от оси.

На больших расстояниях от оси — то есть при ${\displaystyle kr\rightarrow \infty }$ волновое поле (1.1) приобретает вид

${\displaystyle u({\overrightarrow {r}},t)={\cfrac {u_{0}}{\sqrt {r}}}\cdot e^{i(\omega t-kr)}.}$

(1.2)

^[1]

Свойства

• По мере удаления от осциллятора амплитуда убывает гиперболически;
• Так как площадь боковой поверхности цилиндра ${\displaystyle \thicksim r}$, то поток функции ${\displaystyle u(r,t)}$ остаётся постоянным;
• В форме записи (1.2) можно выделить амплитуду волны ${\displaystyle {\cfrac {A}{\sqrt {r}}},}$ фазу ${\displaystyle \omega t-kr=\omega (t-{\cfrac {r}{u_{\Phi }}}),}$ где ${\displaystyle u_{\Phi }}$ — фазовая скорость плоской волны.

См. также

• Плоская волна
• Сферическая волна
• Длина волны