Число развязывания

Число развязывания в теории узлов — один из важных инвариантов узла, минимальное число переключений мостов (переходов «верёвки» сквозь саму себя), нужных для развязывания узла (превращения в нулевой).

Трилистник развязывается путём переключения одного моста.

В жизни, где верёвка не может переходить сквозь себя, переключение моста делается так: найти пересечение, разрезать верёвку, например, снизу и соединить сверху, не трогая остального узла.

Числа развязывания некоторых узлов

Следующая таблица показывает числа развязывания для первых нескольких узлов:

• 
  Нулевой узел
  число развязывания = 0
• 
  Трилистник
  число развязывания = 1
• 
  Восьмёрка
  число развязывания = 1
• 
  Лапчатка
  число развязывания = 2
• 
  Узел в три полуоборота
  число развязывания = 1
• 
  Стивидорный узел
  число развязывания = 1
• 
  6₂^[англ.]
  число развязывания = 1
• 
  6₃^[англ.]
  число развязывания = 1
• 
  7₁^[англ.]
  число развязывания = 3

Свойства

Если узел имеет число развязывания ${\displaystyle n}$, существует диаграмма узла, которая может быть приведена к тривиальному узлу переключением ${\displaystyle n}$ пересечений^[1]. Другими словами, узел можно заранее разложить на плоскости так, чтобы потом на этой диаграмме отметить и переключить ${\displaystyle n}$ пересечений — а не перекладывать после каждого переключения.

Число развязывания узла всегда меньше половины его числа пересечений^[2].

Любой составной узел имеет число развязывания по меньшей мере два, а потому любой узел с числом развязывания единица является простым. Другими словами, невозможно развязать два узла одним переключением.

Для двух узлов A и B, а также их связной суммы ${\displaystyle u(A\#B)\leqslant u(A)+u(B)}$: ведь можно развязать по отдельности A и B, и получить ровно ${\displaystyle u(A)+u(B)}$ переключений. Предполагалось, что это неравенство является равенством, в 2025 году найден первый контрпример, причём очень простой: упомянутый 7₁ и его отражение. Они, будучи завязанными на одной верёвке, развязываются за 5 переключений (а не за 3+3=6)^[3].

В общем случае достаточно сложно определить число развязывания заданного узла. Чтобы найти упомянутый контрпример 2025 года, потребовалось несколько лет перебора на обычном ПК^[3]. Случаи, для которых число развязывания известно:

• Число развязывания нетривиального скрученного узла всегда равно единице.
• Число развязывания ${\displaystyle (p,q)}$-торического узла равно ${\displaystyle (p-1)(q-1)/2}$.
• Числа развязывания простых узлов с числом пересечений девять и менее известны^[4] (число развязывания простого узла 10₁₁ не известно).

Другие числовые инварианты узлов

• Число пересечений
• Число мостов
• Коэффициент зацепления
• Число отрезков

См. также

• Задача развязывания