Эксперимент Кавендиша

Эксперимент Кавендиша — опыт, проведённый в 1797—1798 годах британским учёным Генри Кавендишем с целью определения средней плотности Земли, что впоследствии позволило вычислить её массу из радиуса Земли, определить массы Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы. Измерения плотности Земли с использованием маятников выполнялись до Кавендиша, но точность этих измерений была недостаточной➤. Хотя значение универсальной гравитационной постоянной также можно было определить по плотности Земли и в некоторых источниках оно приводится со ссылкой на Кавендиша, но в его статье значение указано не было➤.

Вертикальный разрез крутильных весов (рисунок 1 из статьи Кавендиша) с защищающей их конструкцией GGGG. ABCDDCBAEFFEA — неподвижный деревянный кожух, внутри которого подвешены крутильные весы, m — тонкий деревянный стержень коромысла, g — растяжка из тонкой серебряной проволоки, сообщающая жёсткость коромыслу, X — малые шары, подвешенные к коромыслу на проволоке, K — рукоятка механизма первоначальной установки коромысла, RrPrR — поворотная ферма, с закреплёнными на ней большими шарами W, MM — шкив поворотного механизма фермы, L — осветительные приборы, T — телескопы для наблюдения за отклонением коромысла через остеклённые отверстия в торцевых стенках кожуха, напротив концов коромысла^[1].

Кавендиш усовершенствовал устройство, названное крутильными весами, разработанное примерно в 1783 году Джоном Мичеллом, который умер, не сумев завершить предложенный им эксперимент➤. Результат, полученный Кавендишем, заключался в том, что средняя плотность Земли составляла 5,437 г/см³, что всего на 1,4 % ниже принятого в настоящее время значения 5,515 г/см³➤. Использование крутильных весов для определения гравитационной постоянной или тестирования закона всемирного тяготения на малых расстояниях происходит и в современной истории, но с использованием всё более точных измерений➤.

Предыстория

Вулкан Чимборасо в Республике Эквадор.

Отклонение отвеса в районе горы.

Одна из первых попыток определения плотности Земли была предпринята профессором гидрографии Гавра французом Пьером Бугером во время геодезической миссии в Перу в 1735—1739 годы. Бугер провёл несколько экспериментов, чтобы определить взаимосвязь между плотностью вулкана Чимборасо и средней плотностью Земли, на основании отклонения от вертикали отвеса вблизи этой большой горы. Исаак Ньютон ранее рассматривал проведение эксперимента как практическую демонстрацию созданной им теории гравитации в своём сочинении «Начала», но в конце концов отверг эту идею. Результаты Бугера были не очень хорошими, так как одно измерение давало плотность Земли в четыре раза больше плотности горы, а другое в двенадцать раз больше^[2][3].

Гора Шихаллион

Второй эксперимент по определению плотности Земли — это эксперимент Шихаллона середины 1774 года. В 1772 году комитет учёных из Лондонского королевского общества, в который входили Королевский астроном, преподобный Невил Маскелайн, Генри Кавендиш, Бенджамин Франклин, Дэйнс Баррингтон и преподобный Сэмюэл Хорсли^[англ.], был убеждён, что они могут определить притяжение горы по отклонению отвеса, и летом 1773 года астроному Чарльзу Мейсону^[англ.] было поручено выбрать гору. Мейсон выбрал шотландскую гору Шихаллион в графстве Пертшир из-за её симметрии и изолированности. Эксперимент проводил Маскелайн, а данные обрабатывал Чарльз Хаттон^[англ.]. Окончательные результаты показали, что плотность Земли соответствует 4,500 г/см³, что на 20 % ниже принятого в настоящее время значения 5,515 г/см³^[3][4].

Примерно в 1768 году преподобный Джон Мичелл, британский физик и геолог, также спроектировал и построил крутильные весы с целью определения средней плотности Земли. Этот прибор был похож на тот, который разработал француз Шарль Огюстен де Кулон, который использовал его для измерения небольших притяжений и отталкиваний электрических зарядов в 1784 году^[5]. Мичелл, похоже, не знал о работе Кулона, когда разрабатывал свои крутильные весы^[6]. Однако он умер, так и не сумев завершить придуманный им эксперимент, а построенный инструмент унаследовал преподобный Фрэнсис Джон Хайд Волластон, профессор натурфилософии Кембриджского университета, который передал его Генри Кавендишу; оба были членами Королевского общества^[6][7].

Определение плотности Земли было важно в то время по нескольким причинам:

1. Оно бы усилило ньютоновскую физику, соединив принцип всемирного тяготения, объединивший небесную и земную механику, с геологией^[2].
2. В области геологии, в конце XVIII века возникла полемика между двумя представлениями о внутреннем составе Земли: нептунианской теорией немца Авраама Готлоба Вернера, считавшего океан, воду, ответственными за образование минерального царства, и плутоновской теорией шотландца Джеймса Геттона, который приписывает основные земные геологические образования внутреннему теплу Земли. Следовательно, определение средней земной плотности позволило бы выяснить твёрдость или текучесть недр планеты^[2].
3. Плотность Земли позволяла вычислить её массу, а это требовалось в астрономии восемнадцатого века, поскольку уже известные соотношения масс Луны, Солнца и остальных планет Солнечной системы можно было определить из этого значения^[2].

Эксперимент

Генри Кавендиш

Генри Кавендиш начал свои эксперименты летом 1797 года в возрасте 67 лет в саду своего дома в Клапем-Коммоне^[англ.], ныне жилом районе на юге Лондона, где он поместил крутильные весы внутри комнаты здания размером 17,7×7,9 м^[8]. Первый эксперимент он провёл 5 августа 1797 года, и до 23 сентября провёл ещё семь опытов. Семь месяцев спустя, между 29 апреля и 30 мая 1798 года, он сделал ещё девять серий наблюдений, и последние два эксперимента — с помощью своего секретаря Джорджа Гилпина^[9].

Обычно можно найти много книг^[10][11], в которых ошибочно утверждается, что целью Кавендиша было определение гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, и об этой ошибке сообщали несколько авторов^[3][9]. На самом деле единственной целью Кавендиша было определение плотности Земли, что он называл «взвешиванием мира». Гравитационная постоянная не фигурирует в оригинальной статье Кавендиша 1798 года «Эксперименты по определению плотности Земли» (англ. Experiments to Determine the Density of the Earth)^[6] и нет никаких указаний на то, что он рассматривал её определение как экспериментальную цель. Одно из первых упоминаний о ${\textstyle G}$, обозначенное как ${\textstyle f}$, появляется в 1844 году в 4-м издании книги Николя Дегена (фр. Nicolas Deguin) Cours élémentaire de Physique, но без написания полной формулы закона всемирного тяготения Ньютона. Впервые полная формула была написана в 1873 году в мемуарах Мари-Альфреда Корню и Батистена Байля^[англ.] «Новое определение постоянной притяжения и средней плотности Земли» (фр. Détermination nouvelle de la constante de l'attraction et de la densité moyenne de la Terre) в виде^[3][12]:

${\displaystyle F=f\cdot {\frac {m\cdot m'}{r^{2}}}\,.}$

Крутильные весы

Вид сверху на крутильные весы (рисунок 2 статьи Кавендиша). Схема горизонтального рычага с двумя маленькими сферами b и большими сферами в двух разных положениях (WW и ww)^[13].

Крутильные весы Мичелла, перестроенные и улучшенные Кавендишем, состояли из нескольких частей:

Деталь крутильных весов (рисунок 1 статьи Кавендиша). W — толстая сфера, x — маленькая сфера. Деревянный ящик, закрывающий коромысло, — это ABCD. n представляет собой апертуру, через которую можно наблюдать градуированную шкалу h.

1. Горизонтальное деревянное коромысло незначительной массы и длиной 183 см (6 футов) было подвешено на тонкой проволоке длиной 102 см (40 дюймов) прямо посередине. На каждом конце коромысла находилась небольшая свинцовая сфера диаметром 5,08 см (2 дюйма) с массой 0,73 кг (b на рисунках)^[7]. Всё заключено в ящик из красного дерева, АААА, для предотвращения сквозняков и перепадов температуры, с небольшими отверстиями на торцах, закрытыми стеклом, что позволяло наблюдать за положением этих сфер. Небольшая сила позволяла этому горизонтальному коромыслу вращаться вокруг оси вращения, отмеченной проволокой, если та была достаточно тонкой^[8][6].
2. Рядом с каждой из вышеупомянутых сфер b у Кавендиша была ещё одна неподвижная сфера, также сделанная из свинца, но гораздо более тяжёлая, 158 кг^[14] (диаметром около 1 фута). Они указаны на рисунках в двух разных позициях, WW и ww. Чтобы разместить их очень близко к маленьким сферам, Кавендиш разработал механизм, который активирует их перемещение на расстоянии, чтобы избежать помех — отмечено как ММ. Гравитационное действие этих сфер должно было притягивать маленькие сферы к шарам на коромысле, производя небольшое закручивание проволоки^[6][15].
3. Чтобы измерить отклонение малых сфер, Кавендиш расположил градуированную шкалу из слоновой кости внутри деревянного ящика, защищающего коромысло, расположенную рядом с маленькими сферами и освещённую лучом света снаружи. Шкала имела отдельные деления на расстоянии 0,13 см (1/20 дюйма). На конце коромысла находился небольшой кусочек слоновой кости, выполнявший роль шкалы нониуса и разделявший деления шкалы на 5 частей, то есть величиной около 0,25 мм^[6][1]. На многих схемах крутильных весов, встречающихся в литературе, указано, что несущая проволока имела зеркало, позволяющее наблюдать за производимым отклонением. Эта система является усовершенствованием, сделанным после эксперимента Кавендиша другими исследователями. Кавендиш измерял отклонение прямо на шкале возле маленьких сфер^[2].
4. Для предотвращения возмущений, вызванных сквозняками и колебаниями температуры, Кавендиш поместил весы в закрытой комнате, на рисунке обозначенном вершинами GGGG. Большие сферы можно было перемещать из другой соседней комнаты с помощью механизма, обозначенного PRR, активируемого в точке m. И он мог также измерить небольшое кручение весов с помощью телескопа, отмеченного буквой Т, чтобы наблюдать отклонения на шкале из слоновой кости, освещённой светом от свечей, отмеченной буквой l^[2].

Крутильные весы были удивительно точны для своего времени. Сила кручения, создаваемая притяжением шаров, была очень мала, 1,74 · 10⁻⁷ Н, что примерно равно 24 · 10⁻⁹ веса маленьких шаров. Эквивалентно силе, необходимой для удержания 0,0155 мг вещества. При подъёме песчинки диаметром 1 мм требуется усилие, примерно в 90 раз превышающее силу, измеренную по шкале Кавендиша^[2].

Метод Кавендиша

Один конец современных крутильных весов, предназначенных для демонстрации эксперимента Кавендиша

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что масса M притягивает другую массу m с силой F, пропорциональной произведению M · m и обратно пропорциональной квадрату расстояния r, разделяющего их.

Метод Кавендиша, используемый для расчёта плотности Земли, заключался в измерении периода колебаний горизонтального коромысла, которое колеблется, приближаясь к большой сфере и удаляясь от неё^[13].

Когда большая сфера приближается на небольшое расстояние (9 дюймов или 22,9 см) к маленькой сфере, то сила гравитационного притяжения становится чувствительной и коромысло с маленькими сферами начинает вращаться в сторону больших сфер. По мере приближения малых сфер к более крупным сила притяжения увеличивается, так как она обратно пропорциональна расстоянию между их центрами, ${\displaystyle F\propto 1/r^{2}\,}$. В то же время это вызывает скручивание проволоки, поддерживающей коромысло, и возвращающую силу, противодействующую скручиванию. Эта рекуперативная сила увеличивается по мере приближения маленьких сфер к большим, поскольку она пропорциональна углу вращения (закон Гука), пока не сравняется с силой, которая их притягивает. В это время силы уравновешиваются, но коромысло с маленькими сферами обладает определённой скоростью (инерцией), что заставляет её продолжать движение в том же направлении. Однако сила возврата, противодействующая движению, становится больше, чем сила гравитационного притяжения, и успевает остановить движение коромысла. Таким образом, маленькие сферы останавливаются и меняют направление своего движения. Когда они снова проходят через положение равновесия, их скорость не равна нулю, что заставляет их продолжать движение. Сила кручения теперь действует в том же направлении, что и гравитационное притяжение, тормозя оба коромысла, и движение сфер медленно останавливается. Затем сферы начинают двигаться в противоположном направлении. То есть совершается колебательное движение, подобное движению простого маятника^[2].

Период колебаний, измеренный Кавендишем, составил около 15 минут, что даёт представление о медленном движении коромысла. Кавендиш измерил время трёх полных колебаний, а затем определил период, разделив общее время на количество колебаний^[16]. Можно показать, что период связан с силой тяжести и силой восстановления проволоки. Колебание затухает и его амплитуда, не превышающая 2 см, несколько уменьшается при каждом колебании, хотя это и не влияет на не зависящий от него период. Чтобы полностью прекратить колебательное движение, потребовалось много часов, но вскоре Кавендиш изменил положение больших сфер на другой стороне и сумел реактивировать колебания и провести новые измерения^[2].

Определив период этих малых колебаний, можно вычислить силу гравитационного притяжения малого шара со стороны большого шара известной массы М и сравнить её с силой притяжения такого же малого шара к Земле. Таким образом, Земля может быть описана как в N раз более массивная, чем толстая сфера^[9]. Все это основано на теории всемирного тяготения Исаака Ньютона, согласно которой сила притяжения пропорциональна произведению масс M и m и обратно пропорциональна квадрату расстояния r между ними

${\displaystyle F\propto {\frac {M\cdot m}{r^{2}}}\,.}$

После того как были произведены расчёты и сделан ряд поправок, результат, полученный Кавендишем, состоял в том, что средняя плотность Земли в 5,448 раз превышала плотность воды при температуре от 19°С до 21°С (0,998 г/см³). Эта величина отличается всего на 1,4 % от принятого в настоящее время значения, что в 5,526 раз больше плотности воды, или 5,515 г/см^3[2].

CAVENDISH, H. Experiments to Determine the Density of the Earth. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 1 Gener 1798, 88:469-526

Несмотря на то, что опыт Кавендиша считается первым определением гравитационной постоянной, он не только не приводил её значение, но и не мог сослаться на закон всемирного тяготения в современной форме, потому, что до конца XIX века его так не записывали^[17]. В его время не существовало единства среди учёных в определении силы, периода колебаний и рассуждения велись с использованием сравнений и аналогий^[2][18]. Для математического анализа Кавендиш использовал аналогию крутильных весов с математическим маятником, период которого известен^[17]. Для математического маятника в крайнем положении возвращающая сила ${\displaystyle F_{0}}$ действует на вес груза ${\displaystyle W}$ и стремится вернуть его в положение равновесия. Длина дуги на которую сдвинут груз ${\displaystyle S}$ относится к длине подвеса ${\displaystyle l}$ как ${\displaystyle F_{0}/W\,.}$ Для математического маятника период равен ${\displaystyle T_{0}\,.}$ Он связан с периодом крутильного маятника ${\displaystyle T}$ под действием другой силы ${\displaystyle F}$ соотношением ${\displaystyle F/F_{0}=T_{0}^{2}/T^{2}\,.}$ С одной стороны возвращающая сила, действующая на крутильные весы запишется в виде ${\displaystyle F=W\cdot S/l\cdot T_{0}^{2}/T^{2}}$^[19]. Эксперимент позволил определить ${\displaystyle F/T=B/(818T^{2})\,,}$ где B — число делений шкалы крутильных весов. С другой стороны Кавендиш рассмотрел отношение притяжения двух свинцовых сфер к весу груза (то есть его притяжение к Земле). Вместо свинца он рассмотрел шар аналогичной массы из воды. Тогда ${\displaystyle {\frac {F}{W}}=10,64\times 0,9779\times \left({\frac {6}{8,85}}\right)^{2}\left({\frac {D_{w}d_{w}^{3}}{d_{w}^{2}}}\right)\left({\frac {d_{e}^{2}}{D_{e}d_{e}^{3}}}\right)\,,}$ где индексы ${\displaystyle _{w}}$ и ${\displaystyle _{e}}$ относятся к воде и Земле, ${\displaystyle D}$ — плотность, ${\displaystyle d}$ — диаметр, 10,64 — коэффициент разницы массы между шаром из свинца и шаром из воды радиусом 1 фут, 0,9779 — коэффициент, введённый для устранения ошибки в измерениях, а отношение 6/8,86 есть отношение радиуса сферы воды к расстоянию между центрами шаров в дюймах. Теперь можно выделить относительную плотность Земли, зная её диаметр (41800000 футов): ${\displaystyle D={\frac {D_{e}}{D_{w}}}={\frac {818T^{2}}{8739000B}}}$^[17]. Кавендиш провёл три измерения и взял среднее значение, которое оказалось неправильным из-за арифметической ошибки. Её исправил Бэйли и получил значение ${\displaystyle D=5,448}$^[20].

Математическая формулировка

Схема крутильных весов Кавендиша. Установка измеряет силу притяжения между массами ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle m}$ для получения значения гравитационной постоянной ${\displaystyle G.}$ ${\displaystyle (M)}$ — масса неподвижных свинцовых шаров, ${\displaystyle (m)}$ — масса подвижных свинцовых шариков, ${\displaystyle (F)}$ — сила притяжения между каждой парой шариков, ${\displaystyle (\theta )}$ — угол закручивания упругой нити подвеса, ${\displaystyle (\kappa )}$ — коэффициент жёсткости торсионного подвеса, ${\displaystyle (r)}$ — расстояние между центрами шаров при закрученной нити подвеса, ${\displaystyle (L)}$ — расстояние между центрами маленьких шариков.

Определения терминов, используемых в формулах, приведены в подписи в конце этого раздела.

Приведённый ниже вывод формулы^[21] для определения плотности Земли использует современную терминологию. Он не соответствует методу, которому следовал Кавендиш^[22][18].

Момент силы ${\displaystyle \tau }$, по определению является произведением силы на расстояние, отделяющее точку её приложения от оси вращения. Это соответствует произведению гравитационного притяжения между двумя сферами F и расстояния между каждой маленькой сферой и осью вращения коромысла, несущей две маленькие сферы, L/2. Так как имеются две пары сфер (2 большие и 2 маленькие) и каждая пара создаёт силу на расстоянии L/2 от оси весов, то момент силы равен 2·F·L/2 = F·L. В крутильных маятниках, как и в крутильных весах, момент силы ${\displaystyle \tau }$, пропорционален углу поворота ${\displaystyle \theta }$ весов, константой пропорциональности выступает коэффициент кручения, ${\displaystyle \kappa }$, это ${\displaystyle \tau =\kappa \cdot \theta }$. Таким образом, приравнивая обе формулы, получается следующее выражение^[22]:

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot F\,.\qquad \qquad \qquad (1)}$

Сила гравитационного притяжения F между маленькой сферой массы m и большой сферой массы M, расстояние между центрами которых равно r, определяется выражением закона всемирного тяготения Исаака Ньютона:

${\displaystyle F=G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.}$

Подставив это выражение для F в уравнение (1), получается^[22]

${\displaystyle \kappa \cdot \theta \ =L\cdot G\cdot {\frac {m\cdot M}{r^{2}}}\,.\qquad \qquad \qquad (2)}$

Для определения коэффициента крутящего момента ${\displaystyle \kappa \,}$, проволоки, можно измерить собственный период колебаний T крутильных весов, который выражается через момент инерции, I, и коэффициент кручения ${\displaystyle \kappa }$, согласно выражению^[23]

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {I/\kappa }}\,.\qquad \qquad \qquad (3)}$

Учитывая, что масса деревянного коромысла пренебрежимо мала по сравнению с массами маленьких сфер, момент инерции весов обусловлен только двумя маленькими сферами и справедливо равенство^[24]:

${\displaystyle I=m\cdot (L/2)^{2}+m\cdot (L/2)^{2}=m\cdot L^{2}/2\,,}$

где выражение (3) можно заменить и период примет вид

${\displaystyle T=2\cdot \pi \cdot {\sqrt {\frac {m\cdot L^{2}}{2\cdot \kappa }}}\,.}$

Выразив из предыдущей формулы ${\displaystyle \kappa }$^[23]

${\displaystyle \kappa ={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot m\cdot L^{2}}{T^{2}}}\,,}$

в выражении (2) можно произвести замену и перестановку, выделив константу G^[25]:

${\displaystyle G={\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta \,.\qquad \qquad \qquad (4)}$

Притяжение, оказываемое Землёй на массу m (массу маленьких сфер), находящуюся вблизи её поверхности, то есть на её вес, составляет:

${\displaystyle m\cdot g=G\cdot {\frac {m\cdot M_{Terra}}{R_{Terra}^{2}}}\,.}$

Выделяя массу Земли, получается выражение

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{G}}\,.}$

Подставляя значение G из периода колебаний, получаем массу Земли

${\displaystyle M_{Terra}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}}{{\frac {2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}}{M\cdot T^{2}}}\cdot \theta }}={\frac {g\cdot R_{Terra}^{2}\cdot M\cdot T^{2}}{2\cdot \pi ^{2}\cdot L\cdot r^{2}\cdot \theta }}\,.}$

Плотность Земли, ${\displaystyle \rho _{Terra}}$, это отношение её массы, ${\displaystyle M_{Terra}}$ к её объёму — объёму шара^[8]:

${\displaystyle \rho _{Terra}={\frac {M_{Terra}}{{\frac {4}{3}}\cdot \pi \cdot R_{Terra}^{3}}}\,.}$

Легенда

Символ	Размерность	Определение
${\displaystyle \theta \,}$	${\displaystyle {\mbox{рад}}\,}$	Угловое отклонение положения малых сфер относительно их положения равновесия
${\displaystyle F\,}$	${\displaystyle {\mbox{Н}}\,}$	Гравитационная сила между массами M и m
${\displaystyle G\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}^{3}{\mbox{кг}}^{-1}{\mbox{с}}^{-2}\,}$	Гравитационная постоянная
${\displaystyle m\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса маленьких сфер
${\displaystyle M\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса больших сфер
${\displaystyle r\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Расстояние между центрами малых и больших сфер
${\displaystyle L\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Расстояние между центрами двух маленьких сфер
${\displaystyle \kappa \,}$	${\displaystyle {\mbox{Н}}\,{\mbox{м}}\,{\mbox{рад}}^{-1}\,}$	Коэффициент кручения проволоки
${\displaystyle I\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,{\mbox{м}}^{2}\,}$	Момент инерции коромысла
${\displaystyle T\,}$	${\displaystyle {\mbox{с}}\,}$	Период колебаний коромысла
${\displaystyle g\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,{\mbox{с}}^{-2}\,}$	Ускорение силы тяжести на поверхности Земли
${\displaystyle M_{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,}$	Масса Земли
${\displaystyle R_{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{м}}\,}$	Радиус Земли
${\displaystyle \rho _{Terra}\,}$	${\displaystyle {\mbox{кг}}\,{\mbox{м}}^{-3}\,}$	Плотность Земли

Последующие эксперименты

После эксперимента Кавендиша другие учёные повторили эксперимент с той же сборкой, внося улучшения. С середины XIX века и далее проводились опыты с целью определения гравитационной постоянной ${\textstyle G}$, а не плотность Земли. Эти эксперименты имели следующие особенности:

• Немец Фердинанд Райх повторил измерение плотности Земли с помощью весов, очень похожих на те, которыми пользовался Кавендиш^[26], и получил новые значения средней плотности Земли, ρ = 5,49 г/см³^[27] в 1837 году и ρ = 5,58 г/см³ в 1852 году^[28].
• Фрэнсис Бейли повторил эксперимент с крутильными весами и в 1842 году получил значение ρ = 5,67 г/см³^[29]. Его опыты финансировались правительством с целью улучшить измерения Кавендиша. Теория была построена Джорджем Эйри. В его опытах размеры, вес шаров и способ их подвеса варьировались^[30].
• Французы Мари Альфред Корню и Баптистин Бай^[англ.] нашли в 1873 г.^[31] значения ρ в пределах от 5,50 до 5,56 г/см³^[12].
• В 1895 году Чарльз Вернон Бойз модифицировал оригинальный инструмент Мичелла и Кавендиша, уменьшив его до 1/18 части, заменив торсионную проволоку, первоначально сделанную из железа, тонкими кварцевыми волокнами диаметром 0,002 мм. Это нововведение позволяет использовать меньшие массы золота (m = 2,7 г, M = 7,5 кг) и меньшее расстояние 15 см^[32] при лучшем контроле температурных колебаний и отклонений от уклона земли. Он также разделяет положение пар сфер на 6 дюймов по вертикали, чтобы уменьшить влияние толстой сферы другой пары, и имеет зеркало на плече, отражающее луч света, что позволило определить с помощью телескопа малый угол отклонения^[33]. Его измерения дали значение ρ = 5,527 г/см³^[34].
• В 1897 году немецкий физик Карл Фердинанд Браун усовершенствовал крутильные весы, поместив их в контейнер, откуда он откачивал воздух, избегая таким образом сквозняков, влияющих на колебания. Он также использовал новый метод. Он расположил большие массы на одной линии с малыми массами коромысла, а затем изменил их расположение на 90°, способ, названный периодом колебаний. В положениях с четырьмя выровненными сферами гравитационное притяжение сокращает период колебаний и удлиняет массы в скрещённых, более удалённых положениях. У него получилось значение ρ = 5,527 г/см³, как и у Бойза^[35].
• Метод Брауна также был использован в 1930 году Паулем Ренно Хейлом с различными материалами (золото, платина и стекло) и получил среднее значение плотности Земли ρ = 5,517 г/см³^[36]. Он повторил эксперимент в 1942 году вместе с Петером Хшановски, и получили значение ρ = 5,514 г/см³, проводя эксперимент с разными проволоками^[37]. Наконец, Габриэль Г. Лютер и Уильям Р. Таулер в 1982 г. использовали вольфрамовые сферы массой 10,5 кг и получили очень точное значение^[38][39].
• В 2008—2010 годах были опубликованы результаты ещё трёх экспериментов. Хотя авторы каждого из них заявляют о высокой точности полученного значения, их результаты различаются на величину больше заявленных экспериментальных погрешностей^[40].
• В 2021 году эксперимент был повторён на золотых шариках диаметром 2 мм и массой всего 90 мг. Сила, действующая между ними, не превышала 10⁻¹³ Н^[41].

Год	Экспериментаторы[42]	Описание	Плотность Земли, г/см³	Гравитационная постоянная, 10−11 м³/(кг·с²)
1837—1847, 1852	Ф. Райх	Провёл две серии опытов.	5,58[28]	6,70±0,04[43]
1843	Ф. Бейли[44][45]	Было проведено 2000 опытов[46]	5,6747±0,0038[46].	6,63±0,07[43]
1873	А. Корню и Ф. Бейли	При помощи более совершенного прибора, составленного из алюминиевого стержня, маленьких платиновых шариков и больших стеклянных шаров, наполненных ртутью	5,50—5,58[47].	6,64±0,017[43]
1880	Ф. Йолли	Использовал обыкновенные рычажные весы.	5,692 ± 0,068[48]	6,58
1887	И. Вильзинг	Вместо горизонтального стержня, отклоняемого тяжёлыми шарами в опытах Кавендиша, он использовал вертикальный.	5,594 ± 0,032[49]	6,71
1895	Ч. Бойс[50]	Улучшил измерения уменьшив размер установки.	5,5270[31]	6,66 ± 0,007[43]
1930	П. Хейл[51]		5,517	6,670 ± 0,005[52]
1942	П. Хейл и П. Хржановский[53]		5,514	6,673 ± 0,003[52]
1982	G. Luther и W. Towler[54]		5,617	6,6726 ± 0,0005[52]
2000	Университет Вашингтона в Сиэтле[55]		5,6154	6,67390
2018	CODATA			6,674 30(15)[56]