Неустойчивость Остроградского

Неустойчивость Остроградского — явление, характерное для теорий с уравнениями Эйлера-Лагранжа, имеющими порядок выше второго. В этом случае, если лагранжиан невырожден, соответствующий ему гамильтониан неограничен снизу, что приводит к появлению в теорий неустойчивостей.

Теорема Остроградского^[1] может служить одним из возможных объяснений, почему, как правило, дифференциальные уравнения физических теорий имеют порядок не выше второго^[2]. Тем не менее, известно достаточно много примеров теорий с высшими производными (вырожденных), не имеющих данной неустойчивости.

Пример

Продемонстрируем теорему Остроградского в контексте механики следующим простым примером^[3]. Рассмотрим теорию с лагранжианом

${\displaystyle L={\frac {a}{2}}{\ddot {\phi }}^{2}-V(\phi ),}$

где ${\displaystyle a\neq 0}$ — константа, а ${\displaystyle V(\phi )}$ — произвольный потенциал. Уравнения движения имеют тогда четвертый порядок, ${\displaystyle a{\overset {....}{\phi }}-dV/d\phi =0}$, соответственно, в теории имеется две динамические степени свободы, одна из которых является патологической (и называется в контексте теории поля духом Остроградского). Действительно, заметим, что

${\displaystyle L=-a{\dot {\psi }}{\dot {\phi }}-{\frac {a}{2}}\psi ^{2}-V(\phi )+a{\frac {\partial (\psi {\dot {\phi }})}{\partial t}}}$

даёт нам те же самые уравнения Эйлера-Лагранжа, что и исходный лагранжиан, с учётом ${\displaystyle \psi ={\ddot {\phi }}}$. Но тогда в новых переменных ${\displaystyle q=(\phi +\psi )/{\sqrt {2}}}$ и ${\displaystyle Q=(\phi -\psi )/{\sqrt {2}}}$ мы получаем

${\displaystyle L=-{\frac {a}{2}}{\dot {q}}^{2}+{\frac {a}{2}}{\dot {Q}}^{2}-U(q,Q),}$

где неправильный знак у кинетического члена и сигнализирует о присутствии духовой неустойчивости.

В общем случае данное рассуждение применимо для всех теорий с лагранжианами высших порядков, кроме случаев, когда такой лагранжиан вырожден (т.е. определитель кинетической матрицы равен нулю).