Периодическая последовательность

Периодическая последовательность — это последовательность, элементы ${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{p}}$ которой начинают повторяться в том же порядке после достижения некоторого ${\displaystyle p}$, то есть:

${\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\,a_{1},a_{2},\dots ,a_{p},\dots }$

Число ${\displaystyle p}$ повторяющихся элементов называется периодом^[1].

Определение

Периодическая последовательность (с периодом ${\displaystyle p}$), или ${\displaystyle p}$-периодическая последовательность, — это последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$, удовлетворяющая соотношению ${\displaystyle a_{n+p}=a_{n}}$ для всех значений ${\displaystyle n}$^{[1][2][3][4][5]}. Если последовательность рассматривается как функция, областью определения которой является множество натуральных чисел, то периодическая последовательность — это просто специальный вид периодической функции. Наименьшее ${\displaystyle p}$, для которого периодическая последовательность ${\displaystyle p}$-периодична, называется её наименьшим периодом^[1][6].

Примеры

Любая постоянная функция 1-периодична^[4].

Последовательность ${\displaystyle 1,2,1,2,1,2,\dots }$ периодична с наименьшим периодом 2^[2].

Последовательность цифр в десятичном представлении 1/7 является периодической последовательностью с периодом 6:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0,(142857)}$

Вообще, последовательность цифр в десятичном представлении любого рационального числа является, в конечном счёте, периодической (см. ниже)^[7].

Последовательность степеней −1 периодична с периодом два:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

Последовательность степеней любого корня из единицы периодична. То же выполняется для степеней любого элемента конечного порядка в группе.

Периодическая точка для функции ${\displaystyle f:X\rightarrow X}$ — это точка ${\displaystyle x}$, Траектория^[англ.] которой

${\displaystyle x,\,f(x),\,f(f(x)),\,f^{3}(x),\,f^{4}(x),\,\ldots }$

является периодической последовательностью. Здесь ${\displaystyle f^{n}(x)}$ означает ${\displaystyle n}$-кратную композицию функции ${\displaystyle f}$, применённую к ${\displaystyle x}$^[6]. Периодические точки играют важную роль в теории динамических систем. Любая функция из конечного множества имеет периодическую точку. Нахождение цикла для поиска такой точки является алгоритмической задачей.

Тождества

Частичные суммы

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k\cdot \sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n}}$, где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle m<p}$ являются натуральными числами.

Частичные произведения

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}\cdot \prod _{n=1}^{m}a_{n}}$, где ${\displaystyle k}$ и ${\displaystyle m<p}$ являются натуральными числами.

Периодические 0, 1 последовательности

Любую периодическую последовательность можно построить поэлементным сложением, вычитанием, умножением и делением периодических последовательностей, состоящих из нулей и единиц. Периодические последовательности из нулей и единиц можно выразить через суммы тригонометрических функций:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{1}})/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\dots$ ;}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}})/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\dots$ ;}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}})/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\dots$ ;}

${\displaystyle \dots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}})/N=0,0,0,\dots 0,1,\dots }$ — последовательность с периодом ${\displaystyle N}$.

Обобщения

Последовательность в конечном итоге периодическая. Если её можно сделать периодической путём отбрасывания некоторого конечного набора членов с начала. Например, последовательность цифр в десятичном представлении числа ${\displaystyle 1/56}$ в конечном итоге периодична:

${\displaystyle {\frac {1}{56}}=0,017(857142)}$

Последовательность ${\displaystyle x_{1},x_{2},x_{3},\dots }$асимптотически периодична, если существует периодическая последовательность ${\displaystyle a_{1},a_{2},a_{3},\dots }$, для которой

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^[4][8][9]

Например, последовательность

${\displaystyle {\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {3}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {4}{5}},\dots }$

асимптотически периодична, поскольку её члены стремятся к периодической последовательности ${\displaystyle 0,1,0,1,0,1,\dots }$