Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Если в голономной системе с ${\displaystyle s}$ степенями свободы кинетическая энергия ${\displaystyle T}$ имеет вид

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}}$

и потенциальная энергия ${\displaystyle \Pi }$ имеет вид

${\displaystyle \Pi ={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})}$,

где ${\displaystyle f=\sum _{m=1}^{s}F_{m}(q_{m})}$, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).^[1]

Доказательство

Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид:

${\displaystyle H=T+\Pi ={\frac {1}{2}}f\sum _{m=1}^{s}A_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}^{2}+{\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\Pi _{m}(q_{m})=h}$.

Обобщенные импульсы равны

${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{m}}}=fA_{m}(q_{m}){\dot {q}}_{m}}$.

С учётом этого функция Гамильтона:

${\displaystyle H={\frac {1}{f}}\sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {p_{m}^{2}}{2A_{m}(q_{m})}}+\Pi _{m}(q_{m})\right]=h}$.

Произведем замену ${\displaystyle p_{m}={\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}}$. Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид^[2]:

${\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0}$.

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:

${\displaystyle W=W_{1}(q_{1})+W_{2}(q_{2})+...+W_{s}(q_{s})}$.

Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:

$${\displaystyle \sum _{m=1}^{s}\left[{\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})\right]=0\qquad (1)}$$

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты ${\displaystyle q_{m}}$, поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:

${\displaystyle {\frac {1}{2A_{m}(q_{m})}}\left({\frac {\partial W_{m}}{\partial q_{m}}}\right)^{2}+\Pi _{m}(q_{m})-hF_{m}(q_{m})=\alpha _{m}}$,

причем должно выполняться условие ${\displaystyle \alpha _{1}+\alpha _{2}+...\alpha _{s}=0}$. Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:

${\displaystyle W_{m}=\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}}$.

Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:

${\displaystyle W=\sum _{m=1}^{s}\int {\sqrt {2A_{m}(q_{m})\left[\alpha _{m}+hF_{m}(q_{m})-\Pi _{m}(q_{m})\right]}}dq_{m}}$

Этот интеграл содержит ${\displaystyle s}$ произвольных постоянных ${\displaystyle h,\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{s-1}}$ и постоянную ${\displaystyle \alpha _{s}=-(\alpha _{1}+\alpha _{2}+...+\alpha _{s-1})}$^[3]