Теорема Мэйсона — Стотерса

Теорема Мэйсона — Стотерса — аналог abc-гипотезы для многочленов. Названа в честь Стотерса, который опубликовал её в 1981 году,^[1] и Мейсона, который вновь открыл её после этого.^[2]

Формулировка

Пусть ${\displaystyle a(t),b(t),c(t)}$ — попарно взаимно простые многочлены над полем, такие что ${\displaystyle a+b=c}$ и хотя бы один из них имеет ненулевую производную. Тогда

${\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.}$

Здесь ${\displaystyle \operatorname {rad} f}$ — радикал многочлена, это произведение различных неприводимых множителей ${\displaystyle f}$. Для алгебраически замкнутых полей радикал многочлена ${\displaystyle f}$ это многочлен минимальной степени с тем же множеством корней, что и у ${\displaystyle f}$; в этом случае ${\displaystyle \deg \operatorname {rad} f}$ это просто число различных корней ${\displaystyle f}$.^[3]

Примеры

• Над полями характеристики 0 условие, что хотя бы одна производная ${\displaystyle a',b',c'}$ ненулевая равносильно тому, что хотя бы один многочлен — не константа. Над полями характеристики ${\displaystyle p>0}$ недостаточно требовать, чтобы все ${\displaystyle a,b,c}$ были неконстантными. Например, тождество ${\displaystyle 1+t^{p}=(1+t)^{p}}$ даёт пример, где ${\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}=p}$, а ${\displaystyle \deg(\operatorname {rad} (abc))=2}$.
• Если взять ${\displaystyle a(t)=t^{n},c(t)=(t+1)^{n}}$, то мы получим пример, в котором в теореме Мейсона — Стотерса достигается равенство, что показывает, что оценка в теореме в некотором смысле неулучшаема.
• Простым следствием теоремы Мейсона — Стотерса является аналог великой теоремы Ферма для полей функций: если ${\displaystyle a(t)^{n}+b(t)^{n}=c(t)^{n}}$ для попарно взаимно простых ${\displaystyle a,b,c}$ над полем характеристики, не делящей ${\displaystyle n}$, и ${\displaystyle n>2}$, то хотя бы один из ${\displaystyle a,b,c}$ нулевой или все константы.

Доказательство

Из условия ${\displaystyle a+b=c}$ следует, что ${\displaystyle b'a-ba'=c'a-a'c}$ и ${\displaystyle a'b-ab'=c'b-cb'}$. Обозначим ${\displaystyle W=a'b-ab'}$. Отсюда следует, что ${\displaystyle {\text{НОД}}(a,a'),{\text{НОД}}(b,b'),{\text{НОД}}(c,c')}$ делит ${\displaystyle W}$. Поскольку все НОДы попарно взаимно просты, то их произведение делит ${\displaystyle W}$.

Ясно также, что ${\displaystyle W\neq 0}$. От противного: если ${\displaystyle W=0}$, то ${\displaystyle a'b=ab'}$, значит ${\displaystyle a}$ делит ${\displaystyle a'}$, поэтому ${\displaystyle a'=0}$ (поскольку ${\displaystyle \deg a>\deg a'}$ при любом неконстантном ${\displaystyle a}$). Аналогично получаем, что ${\displaystyle b'=0,c'=0}$, что противоречит условию.

Из обоих утверждений получаем, что

${\displaystyle \deg {\text{НОД}}(a,a')+\deg {\text{НОД}}(b,b')+\deg {\text{НОД}}(c,c')\leqslant \deg W}$

По определению ${\displaystyle W}$ имеем ${\displaystyle \deg W\leqslant \deg a+\deg b-1}$ , значит

${\displaystyle \deg {\text{НОД}}(a,a')+\deg {\text{НОД}}(b,b')+\deg {\text{НОД}}(c,c')\leqslant \deg a+\deg b-1}$

Для любого многочлена ${\displaystyle P}$ верно, что ${\displaystyle \deg P-\deg \operatorname {rad} (P)\leqslant \deg {\text{НОД}}(P,P')}$. Подставляя сюда ${\displaystyle P=a,b,c}$ и подставляя в неравенство выше, получаем

${\displaystyle \deg abc-\deg(\operatorname {rad} (a)\operatorname {rad} (b)\operatorname {rad} (c))\leqslant \deg a+\deg b-1}$

мы получаем, что

${\displaystyle \deg c\leqslant \deg \operatorname {rad} (abc)-1}$

что и требовалось.

Снайдер дал элементарное доказательство теоремы Мейсона-Стотерса.^[4]

Обобщения

Существует естественное обобщение, в котором кольцо многочленов заменены на одномерные поля функций.

Пусть ${\displaystyle k}$ — алгебраически замкнутое поле характеристики 0, пусть ${\displaystyle C/k}$ — гладкая проективная кривая рода ${\displaystyle g}$, и пусть ${\displaystyle a,b\in k(C)}$ — рациональные функции на ${\displaystyle C}$, такие что ${\displaystyle a+b=1}$, и пусть ${\displaystyle S}$ — множество точек в ${\displaystyle C(k)}$, содержащее все нули и полюсы ${\displaystyle a,b}$. Тогда

${\displaystyle \max\{\deg(a),\deg(b)\}\leqslant \max\{|S|+2g-2,0\}.}$

Здесь степень функции в ${\displaystyle k(C)}$ это степень отображения, индуцированного из ${\displaystyle C}$ в ${\displaystyle P^{1}}$.

Это было доказано Мэйсоном, альтернативное более короткое доказательство в том же году было опубликовано Сильверманом.^[5]

Существует дальнейшее обобщение, данное Voloch^[6] и независимо Brownawell и Массером,^[7] которое даёт верхнюю оценку для уравнений ${\displaystyle a_{1}+\ldots +a_{n}=1}$, для которых верно, что нет подмножеств ${\displaystyle a_{i}}$, которые являются ${\displaystyle k}$-линейно независимыми. При этих предположениях они доказали, что

${\displaystyle \max\{\deg(a_{1}),\ldots ,\deg(a_{n})\}\leqslant {\frac {1}{2}}n(n-1)\max\{|S|+2g-2,0\}.}$