Теорема о равномерной непрерывности

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Кантора (значения).

Теорема о равномерной непрерывности или Теоре́ма Ка́нтора — Ге́йне говорит, что непрерывная функция, определённая на компакте, равномерно непрерывна на нём.

Формулировка

Пусть даны два метрических пространства ${\displaystyle (X,\rho _{X})}$ и ${\displaystyle (Y,\rho _{Y}).}$ Пусть также дано компактное подмножество ${\displaystyle A\subset X}$ и определённая на нём непрерывная функция ${\displaystyle f\colon A\to Y.}$ Тогда ${\displaystyle f}$ равномерно непрерывна на ${\displaystyle A.}$

Замечания

• В частности, непрерывная вещественнозначная функция, определённая на отрезке, ${\displaystyle f\colon [a,b]\subset \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ равномерно непрерывна на нём.

• В условиях теоремы компакт нельзя заменить на произвольное открытое множество. Например, функция

  ${\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}},\;x\in (0,1)}$

непрерывна на всей области определения, но не является равномерно непрерывной.

Доказательство

Воспользуемся доказательством от противного.

Пусть ${\displaystyle f(x)}$ — функция, отвечающая условиям теоремы (на компакте ${\displaystyle A}$), но не равномерно непрерывная на нём. Тогда существует такое ${\displaystyle \varepsilon }$, что для всех ${\displaystyle \delta >0}$ существуют такие ${\displaystyle x}$ и ${\displaystyle y}$, расстояние между которыми меньше ${\displaystyle \delta }$, но расстояние между их образами не менее ${\displaystyle \varepsilon }$:

${\displaystyle \exists \varepsilon >0\colon \quad \forall \delta >0\ \exists x_{\delta },y_{\delta }\in A\colon \quad d(x,y)<\delta ,}$ но ${\displaystyle d(f(x),f(y))\geqslant \varepsilon .}$

Возьмём последовательность ${\displaystyle \{\delta _{k}\}}$, сходящуюся к 0, например, ${\displaystyle \left\{{\frac {1}{k}}\right\}}$. Построим последовательности ${\displaystyle x_{k}}$ и ${\displaystyle y_{k}}$ так, чтобы

${\displaystyle d(x_{k},y_{k})<{\frac {1}{k}}}$, но ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$

${\displaystyle A}$ — компакт, поэтому можно выделить сходящуюся подпоследовательность:

${\displaystyle x_{k_{j}}\to {\bar {x}}\in A.}$

Но так как расстояние между членами обеих последовательностей стремится к нулю, то, воспользовавшись неравенством треугольника, получаем, что соответствующие подпоследовательности стремятся к одной точке: ${\displaystyle {\bar {x}}=\lim \limits _{j\to \infty }y_{k_{j}}=\zeta }$. И, так как ${\displaystyle f}$ непрерывна ${\displaystyle f(x_{k_{j}})\to f(\zeta ),\quad f(y_{k_{j}})\to f(\zeta )\Rightarrow d(f(x_{k_{j}}),f(y_{k_{j}}))\to 0}$, что противоречит предположению, что ${\displaystyle d(f(x_{k}),f(y_{k}))\geqslant \varepsilon }$.

Стало быть, функция, непрерывная на компакте, действительно равномерно непрерывна на нём.

История

Определение равномерной непрерывности появляется в работе Гейне.^[1] Через два года он публикует доказательство теоремы для функций определённых на замкнутом ограниченном интервале.^[2] В этих работах, он не претендует на оригинальность и его доказательство практически повторяет доказательство Дирихле опубликованное им в его лекциях 1854 года.

Основной вклад, по-видимому, принадлежит Больцано.^[3]