Уравнение в функциональных производных

Уравнение в функциональных производных — обобщение понятия дифференциального уравнения на случай бесконечного множества переменных. Применяется в функциональном анализе и теоретической физике (уравнение Швингера — Томонаги, уравнения Швингера).

Обыкновенное уравнение в функциональных производных получается с помощью предельного перехода к бесконечному множеству переменных из уравнения в полных дифференциалах^[1]:

${\displaystyle du=p_{1}dx_{1}+p_{2}dx_{2}+...+p_{n}dx_{n}}$ (1),

где: ${\displaystyle u}$ и коэффициенты ${\displaystyle p_{j}}$ являются функциями от ${\displaystyle n}$ переменных ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$.

При переходе к пределу ${\displaystyle n\to \infty }$ в уравнении (1) сумма превратится в интеграл и оно примет вид:

${\displaystyle \delta U=\int _{0}^{1}f[x(t);U,\tau ]\delta x(\tau )d\tau }$ (2),

где: ${\displaystyle U}$ - неизвестный функционал от функции ${\displaystyle x(t)}$, ${\displaystyle \tau }$ - переменная интегрирования.

При помощи понятия функциональной производной это уравнение можно записать в виде:

${\displaystyle U_{x(\tau )}^{'}=f[x(t);U,\tau ]}$ (3),

где: ${\displaystyle U_{x(\tau )}^{'}}$ - функциональная производная.

Если семейство функций ${\displaystyle x(t)}$ принадлежит пространству ${\displaystyle L_{2}}$ и зависит от числового параметра, то уравнение в функциональных производных превращается в дифференциальное уравнение первого порядка, которое удобно решать методом последовательных приближений^[2].

Если функционал ${\displaystyle U}$ зависит не только от функции ${\displaystyle x(t)}$, но и от одного или нескольких числовых параметров, то уравнение в функциональных производных превращается в интегро-дифференциальное уравнение, для решения которого также можно использовать метод последовательных приближений^[3].