Уравнение Швингера — Томонаги

Уравне́ние Шви́нгера — Томона́ги, в квантовой теории поля, основное уравнение движения^[1], обобщающее уравнение Шрёдингера на релятивистский случай.

Волновая функция в релятивистом случае должна быть задана как функционал пространственноподобных гиперповерхностей ${\displaystyle \Psi [\sigma ]}$. Уравнение Швингера — Томонаги для волновой функции имеет вид:^[2]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\delta \Psi [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\mathcal {H}}(x)\Psi [\sigma ],}$

где ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$ — плотность гамильтониана

${\displaystyle H(t)=\int {\mathcal {H}}(x)d^{3}\mathbf {x} .}$

${\displaystyle x=(x^{0},\mathbf {x} )}$ — координата в пространстве Минковского ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$. Уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности, также являющая функционалом пространственноподобных гиперповерхностей, имеет вид:^[3]

${\displaystyle i\hbar {\frac {\delta \rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}=[{\mathcal {H}}(x),\rho [\sigma ]].}$

Пространственноподобные гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$ определяются трёхмерным многообразием в ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$, которая может быть расширено во всех пространственноподобных направлениях. Данные многообразия определяются тем, что в каждой точке ${\displaystyle x\in \sigma }$ гиперповерхность имеет единичный нормальный вектор

${\displaystyle n_{\mu }(x)n^{\mu }(x)=1,}$

являющийся времениподобным

${\displaystyle n^{0}(x)\geqslant 1.}$

Уравнение Швингера — Томонаги является функциональным дифференциальным уравнением. Его можно рассматривать как дифференциальное уравнение в континуальном семействе переменных времени.^[3] Для этого необходимо выбрать параметризацию гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$ координатами ${\displaystyle \mathbf {x} }$ трёхмерного пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$, тогда точки ${\displaystyle x\in \sigma }$ могут быть представлены в виде ${\displaystyle x=(x^{0}(\mathbf {x} ),\mathbf {x} )}$. Таким образом, каждая точка ${\displaystyle \mathbf {x} \in \mathbb {R} ^{3}}$ имеет собственную переменную времени ${\displaystyle x^{0}=x^{0}(\mathbf {x} )}$.

Функциональная производная в уравнении Швингера — Томонаги

Рассмотрим точку ${\displaystyle x\in \sigma }$ и варьированную гиперповерхность ${\displaystyle \sigma +\delta \sigma }$, отличную от ${\displaystyle \sigma }$ лишь в некоторой окрестности ${\displaystyle O_{x}}$ точки ${\displaystyle x}$. Через ${\displaystyle \Omega (x)}$ обозначим объём четырёхмерной области, заключённой между ${\displaystyle \sigma }$ и ${\displaystyle \sigma +\delta \sigma }$. Тогда функциональная производная ${\displaystyle {\frac {\delta }{\delta \sigma (x)}}}$ произвольного функционала ${\displaystyle F[\sigma ]}$, приставляющем собой отображение из множества гиперповерхностей в вещественные числа, определяется^[4] следующим образом^[5]

${\displaystyle {\frac {\delta F[\sigma ]}{\delta \sigma (x)}}={\underset {\Omega (x)\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {F[\sigma +\delta \sigma ]-F[\sigma ]}{\Omega (x)}}.}$

Решение уравнения Швингера — Томонаги

Решение уравнения Швингера — Томонаги для матрицы плотности может быть представлено как^[6]

${\displaystyle \rho (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\rho (\sigma _{0})U^{\dagger }(\sigma ,\sigma _{0}),}$

где ${\displaystyle U(\sigma ,\sigma _{0})}$ — унитарный оператор эволюции, имеющий вид

${\displaystyle U(\sigma ,\sigma _{0})=\mathrm {Texp} \left[-i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma }{\mathcal {H}}(x)d^{4}x\right],}$

где ${\displaystyle \mathrm {Texp} }$ — упорядоченная по времени экспонента. ${\displaystyle \rho (\sigma _{0})}$ — начальная матрица плотности, определённая на начальной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma _{0}}$ . Аналогично, решение уравнения Швингера — Томонаги для волновой функции может быть представлено как

${\displaystyle \Psi (\sigma )=U(\sigma ,\sigma _{0})\Psi (\sigma _{0}),}$

где ${\displaystyle \Psi (\sigma _{0})}$ — начальная волновая функция.

Необходимое условие интегрируемости

Также как дифференциальные уравнения в частных производных требуют для интегрируемости перестановочности этих производных, так и уравнение Швингера — Томонаги для матрицы плотности имеет необходимое условие интегрируемости^[6], требующее перестановочности вариационных производных в произвольных точках каждой фиксированной пространственноподобной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma }$:

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .}$

Это условие является следствием требования микропричинности для плотности гамильтониана ${\displaystyle {\mathcal {H}}(x)}$. Оно утверждает, что гамильтонианы для различных точек пространственноподобных интервалов

${\displaystyle [{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)]=0,\qquad (x-y)^{2}<0.}$

Действительно, с учётом тождества Якоби, имеем:

${\displaystyle {\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (x)\delta \sigma (y)}}-{\frac {\delta ^{2}\rho [\sigma ]}{\delta \sigma (y)\delta \sigma (x)}}=[[{\mathcal {H}}(x),{\mathcal {H}}(y)],\rho [\sigma ]]=0,\qquad \forall x,y\in \sigma .}$

Условие интегрируемости обеспечивает однозначность решения.

Расслоение пространства-времени и уравнение Шрёдингера

Расслоение пространства ${\displaystyle \mathbb {R} ^{1,3}}$ определяется^[7] гладким однопараметрическим семейством

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\sigma (\tau )\}}$

состоящим из пространноподобных гиперповерхностей ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ с тем свойством, что каждая точка ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{1,3}}$ принадлежит одной и только одной гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )}$:

${\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ^{1,3}\;\exists$ !\tau \in \mathbb {R} :x\in \sigma (\tau ).}

Обозначим гиперповерхность, соответствующую точке ${\displaystyle x}$ как ${\displaystyle \sigma _{x}}$. Фиксированное расслоение ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ порождает семейство векторов-состояний

${\displaystyle |\Psi (\tau )\rangle =\Psi (\sigma (\tau )).}$

Тогда уравнение Швингера — Томонаги может быть переформулировано в интегральной форме

${\displaystyle |\Psi (\tau )\rangle =|\Psi (0)\rangle -i\hbar \int _{\sigma _{0}}^{\sigma (\tau )}{\mathcal {H}}(x)\Psi (\sigma _{x})d^{4}x.}$

Четырёхмерное интегрирование расширяется на область, окружённую начальной гиперповерхностью ${\displaystyle \sigma _{0}=\sigma (0)}$ и гиперповерхностью ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ семейства, которое всецело лежит в будущем ${\displaystyle \sigma _{0}}$.

Пусть гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )}$ могут быть определены неявным выражением

${\displaystyle {\tilde {f}}(x,\tau )=0,}$

где ${\displaystyle {\tilde {f}}(x,\tau )}$ — гладкая скалярная функция. Тогда единичный вектор нормали

${\displaystyle n_{\mu }(x)={\frac {1}{\sqrt {{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x_{\mu }}}}}}{\frac {\partial {\tilde {f}}(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.}$

Для удобство нормируем функцию ${\displaystyle f(x,\tau )=0}$ определяющую гиперплоскость так, чтобы исключить нормировочный множитель в формуле для нормали

${\displaystyle n_{\mu }(x)={\frac {\partial f(x,t)}{\partial x^{\mu }}}.}$

Дифференцируя интегральное уравнение для векторов-состояний

${\displaystyle {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =-{\frac {i}{\hbar }}\int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)|\Psi (\tau )\rangle d\sigma (x),}$

где интегрирование выполняется по гиперповерхности ${\displaystyle \sigma (\tau )\in {\mathcal {F}}}$. Это уравнение является ковариантным обобщением уравнения Шрёдингера. С учётом

${\displaystyle \int _{\sigma (\tau )}\left|{\frac {\partial f}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=\int _{\sigma (\tau )}\left|n_{0}{\frac {\partial x_{0}}{\partial \tau }}\right|{\mathcal {H}}(x)d\sigma (x)=H(\tau )}$

уравнение движения для векторов-состояния примет вид

${\displaystyle i\hbar {\frac {d}{d\tau }}|\Psi (\tau )\rangle =H(\tau )|\Psi (\tau )\rangle .}$

Историческая справка

Сразу же после появление квантовой механики начали предприниматься попытки построить её релятивистское обобщение. Но на этом пути возникла принципиальная трудность,^[1] связанная с тем, что в формализме квантовой механики^[8] время играет существенно выделенную роль, отличную от координат. С другой стороны, в теории относительности время и пространственные координаты должны выступать симметрично как компоненты одного 4-вектора.

Чтобы найти релятивистское обобщение уравнения для эволюции состояний, потребовалось понять, что нерелятивистское время играет сразу две роли, которые при релятивистском обобщении расщепляются. С одной стороны, это индивидуальное время события — именно это время должно быть симметрично координатам, с другой — оно служит параметром эволюции, упорядочивающим события в пространственно разнесённых точках. Релятивистским обобщением этой второй функции времени может служить любая совокупность взаимно пространственноподобных точек, такая, что любая времениподобная мировая линия включает одну и только одну точку этой совокупности. Такой совокупностью является пространственноподобная гиперповерхность ${\displaystyle \sigma }$.

Уравнение в описанной форме было независимо введено С. Томонагой в 1946 году и Дж. Швингером в 1948 году и послужило основой для построения Лоренц-инвариантной теории возмущений.