Характеристика областей голоморфности

Характери́стика областе́й голомо́рфности (англ. characterization of domains of holomorphy^[1]) - условия, характеризующие области голоморфности в комплексном пространстве^[2][3].

Содержание этой статьи составляет изучение следующей теоремы^[2].

Теорема. Следующие пять условий эквивалентны^[2][4]:

(I) ${\displaystyle D}$ — область голоморфности;

(II) ${\displaystyle D}$ голоморфно выпукла;

(III) ${\displaystyle D}$ в любой граничной точке голоморфно не расширяема;

(IV) ${\displaystyle D}$ выпукла в смысле Леви;

(V) ${\displaystyle D}$ псевдовыпукла.

Область голоморфности

Основная статья: Область голоморфности

Область голоморфности — комплексная область U такая, что для любого участка её границы в ней найдётся голоморфная функция, непродолжаемая через него

Это стандартное определение области голоморфности^[2].

Область голоморфности (англ. domain of holomorphy^[5][6], от др.-греч. ὅλος — весь и др.-греч. μορφή — форма, образ^[7]) — понятие комплексного анализа, раздела математики, область комплексного пространства такая, что существует функция, голоморфная в этой области, но не голоморфно продолжаемая в какую-нибудь бо́льшую область (точнее, не продолжаемая за пределы области)^{[8][9][10][11][12][6]}.

Другими словами, область голоморфности — область комплексного пространства такая, что нет никакого участка её границы, через который можно было бы голоморфно продолжить любую функцию, голоморфную в этой области^[13], другими словами, для любого участка границы области в ней найдётся голоморфная функция, которую нельзя продолжить через этот участок^[5][6].

Синоним: область регулярности^[12].

Область голоморфности функции — область комплексного пространства такая, что функция в ней голоморфна, но не голоморфна в какой-нибудь бо́льшей области, то есть голоморфно не продолжается за пределы области^[9][8][11]. Область голоморфности — область голоморфности какой-нибудь функции^[14], то есть максимальная область существования какой-нибудь функции ${\displaystyle f(z)}$^[5].

Синонимы: область существования функции^[9][11]; естественная область определения функции^[8]; область регулярности функции^[11].

На комплексной плоскости любая область голоморфна: всегда имеется некоторая функция, которая голоморфна в этой области и не продолжается аналитически за её границу^{[15][8][16][17][6]}.

Но в комплексном пространстве ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, ситуация совсем другая. Например, голоморфные функции в ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ не могут иметь изолированных особенностей: особенности «распространяются» определенным образом^[17]. В ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$, ${\displaystyle n\geqslant 2}$, не каждая область голоморфна, то есть имеются области, из которых любая голоморфная в ней функция всегда продолжается в более обширную область. Например, не логарифмически выпуклая область Рейнхарта^[15]. Также не голоморфна область с полостью, то есть вид разности множеств

${\displaystyle D\setminus K\subset \mathbb {C} ^{n}}$,

где ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\supset D\supset K}$ — компактное множество^[8][1].

Неправильно считать, что область голоморфности в комплексном пространстве есть просто область того же пространства, равная своему голоморфному расширению, поскольку голоморфное продолжение функции из исходной области может привести к многолистной области^[18].

Открытое множество голоморфности — открытое множество (может быть, многосвязное) комплексного пространства, все связные компоненты которого суть области голоморфности^[16]