Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Дифференциальными кольцами, полями и алгебрами называются кольца, поля и алгебры, снабжённые дифференцированием — унарной операцией, удовлетворяющей правилу произведения. Естественный пример дифференциального поля — поле рациональных функций одной комплексной переменной , операции дифференцирования соответствует дифференцирование по . Теория создана Джозефом Риттом (1950) и его учеником Эллисом Колчином[англ.][1][2].
Дифференциальное кольцо — это кольцо R, снабжённое одним или несколькими эндоморфизмами (дифференцированиями)
удовлетворяющими правилу произведения
для любых . Подчеркнем, что в некоммутативном кольце правило может не выполняться. В безындексной форме записи, если — умножение в кольце, то правило произведения примет вид
где — отображение пары в пару .
Дифференциальное поле — это поле K, снабжённое дифференцированием. Дифференцирование должно подчиняться правилу Лейбница в форме
так как умножение в поле коммутативно. Дифференцирование также должно быть дистрибутивно относительно сложения:
Полем констант дифференциального поля называется .
Дифференциальной алгеброй над полем K называется K-алгебра A, в которой дифференцирования коммутируют с полем. То есть для любых и :
В безындексной форме записи, если — морфизм колец, определяющий умножение на скаляры в алгебре, то
Как и в остальных случаях, дифференцирование должно удовлетворять правилу Лейбница относительно умножения в алгебре и быть линейным относительно сложения. То есть для любых и :
и
Дифференцирование алгебры Ли — это линейное отображение , удовлетворяющее правилу Лейбница:
Для любого оператор — дифференцирование на , что следует из тождества Якоби. Любое такое дифференцирование называется внутренним.
Если — алгебра с единицей, то , так как . Например, в дифференциальных полях характеристики 0 рациональные элементы образуют подполе в поле констант.
Любое поле можно рассматривать как поле констант.
В поле существует естественная структура дифференциального поля, определяемая равенством : из аксиом поля и дифференцирования следует, что это будет дифференцирование по . Например, из коммутативности умножения и правила Лейбница следует, что
В дифференциальном поле нет решения дифференциального уравнения , но можно расширить его до поля, содержащего функцию , имеющего решение этого уравнения.
Дифференциальное поле, имеющее решение для любой системы дифференциальных уравнений, называется дифференциально замкнутым полем. Такие поля существуют, хотя они и не возникают естественным образом в алгебре или геометрии. Любое дифференциальное поле (ограниченной мощности) вкладывается в большее дифференциально замкнутое поле. Дифференциальные поля изучаются в дифференциальной теории Галуа.
Естественные примеры дифференцирований — частные производные, производные Ли, производная Пиншерле и коммутатор относительно заданного элемента алгебры. Все эти примеры тесно связаны общей идеей дифференцирования.
Дифференциальные кольца и дифференциальные алгебры часто изучаются с помощью кольца псевдодифференциальных операторов над ними:
Умножение в этом кольце определяется как
Здесь — биномиальный коэффициент. Отметим тождество
следующее из
и
Пусть — градуированная алгебра, — однородное линейное отображение, . называется однородной производной, если , при действии на однородные элементы . Градуированная производная — это сумма однородных производных с одинаковым .
Если , определение совпадает с обычным дифференцированием.
Если , то , для нечётных . Такие эндоморфизмы называются антипроизводными.
Примеры антипроизводных — внешняя и внутренняя производная дифференциальных форм.
Градуированные производные супералгебр (то есть -градуированных алгебр) часто называются суперпроизводными.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.