Položaj (geometrija)

Položaj (takođe vektor položaja, radijus-vektor, radijvektor ili provodnica) je vektor ${\displaystyle {\vec {r}}}$ kojemu je početak u nekoj nepomičnoj zadanoj točki O, obično ishodištu nekoga koordinatnog sustava, a vrh u promatranoj točki P. Uz nepomični pol svaka je točka određena svojim radijvektorom, pa se piše P(r). Ako je pol u ishodištu Kartezijeva sustava, koordinate radijvektora neke točke upravo su Kartezijeve koordinate te točke.^[1]

Dvije točke P i Q, te njihovi radijvektori (označeni kao ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{P}}$ i ${\displaystyle \scriptstyle {\vec {r}}_{Q}}$).

Primjena

Trajektorija

Ukoliko se vektor položaja ${\displaystyle {\boldsymbol {\vec {r}}}}$ materijalne tačke menja tokom vremena, to znači da dolazi do promene položaja, a tada vektor položaja svojim vrhom opisuje trajektoriju (putanju) tačke. Matematički izražena, zavisnost vektora položaja od vremena naziva se parametarskom jednačinom trajektorije:

${\displaystyle {\vec {r}}={\vec {r}}\left(t\right),}$

gde je ${\displaystyle t}$ vremenski trenutak za koji se traži vektor položaja. Ova jednačina u stvari predstavlja parametraski zadatu jednačinu krive koju tačka opisuje tokom svog kretanja i opštu jednačinu kretanja.

U Dekartovim koordinatama, vektor položaja se može zapisati preko projekcija po osama , i :

${\displaystyle {\vec {r}}=r_{x}{\hat {x}}+r_{y}{\hat {y}}+r_{z}{\hat {z}}}$

Brzina i ubrzanje

Brzina se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

${\displaystyle {\vec {v}}={\frac {d{\vec {r}}}{dt}}}$

Ubrzanje se definiše kao promena vektora položaja u infinitezimalnom vremenu:

${\displaystyle {\vec {a}}={\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\frac {d^{2}{\vec {r}}}{dt^{2}}}}$

Drugi Keplerov zakon

Glavni članak: Drugi Keplerov zakon

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine (plava površina). Zelena strelica prikazuje brzinu (vektor brzine). Ljubičasta strelica usmjerena prema Suncu prikazuje ubrzanje (ostale dvije ljubičaste strelice su komponente ubrzanja, jedna okomita i druga paralelna (normalna) s brzinom.

Drugi Keplerov zakon glasi:

Radijvektor (provodnica) Sunce-planet opisuje u jednakim vremenskim razmacima jednake površine.

Na prikazanoj slici ${\displaystyle dv}$ je priraštaj kuta ${\displaystyle v}$ koji odgovara kratkom intervalu ${\displaystyle dt}$. Za to vrijeme radijvektor prebriše površinu:

${\displaystyle dp={\frac {r^{2}\pi }{2\pi }}dv={\frac {1}{2}}r^{2}dv}$

(${\displaystyle v}$ u radijanima), jer, s obzirom na to da je priraštaj ${\displaystyle dv}$ vrlo malen, može se površina isječka elipse smatrati površinom isječka kruga s polumjerom ${\displaystyle r}$. Tako proizlazi:

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}={\frac {1}{2}}r^{2}{\frac {dv}{dt}}}$

${\displaystyle {\frac {dp}{dt}}}$ naziva se površinskom brzinom. Prema drugom Keplerovu zakonu ta je brzina konstantna:

${\displaystyle r^{2}{\frac {dv}{dt}}=C}$

i to je matematički izraz drugoga Keplerova zakona.