Red (matematika)

U matematici, red je često predstavljen kao suma članova niza. To jest, red predstavlja niz brojeva sa znakom operacije za sabiranje između svakog od njih,^[1] npr. ovaj aritmetički niz:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 99 + 100

U većini slučajeva od interesa, članovi niza pojavljuju se po po određenom pravilu, kao što je formula, algoritam, i sl.

Redovi mogu biti konačni ili beskonačni.^[2][3] Konačni redovi mogu se rešavati elementarnom algebrom, ali beskonačni redovi zahtijevaju poznavanje matematičke analize.

Primjeri prostih redova su aritmetički redovi kod kojih se suma aritmetičke progresije piše kao:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}(an+b);}$,

te beskonačni geometrijski redovi, suma geometrijske progresije, koja se može napisati kao:

${\displaystyle \sum _{n=0}^{k}a^{n}.}$

Apsolutna konvergencija

Glavni članak: Apsolutna konvergencija

Za red

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$

se kaže da konvergira apsolutno ako red apsolutne vrijednosti

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|}$

konvergira. U ovom slučaju, originalni red, kao i sve njegove varijante (koje se dobiju regrupisanjem članova), konvergiraju i to prema istoj sumi.

Riemannov teorem o redu kaže da, ako je red uslovno konvergentan, tada se može pronaći takav raspored članova, takav da novi rred divergira. Štaviše, ako su a_n realni i ako je S bilo koji realan broj, može se pronaći takav raspored da novi red konvergira sa limesom S.

Neke vrste beskonačnih redova

• Geometrijski red je red kod kojeg se naredni član dobije množenjem prethodnog člana s konstantnim brojem. Primjer:

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}$

Općenito, geomtrijski red

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$

konvergira ako i samo ako |z| < 1.

• Harmonijski red je red

${\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}$

Harmonijski red je divergentan.

• Alternativni red je red u kojem članovi periodično mijenjaju znak (+ ili -). Primjer:

${\displaystyle 11 \over 2}+{1 \over 3{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}$

• Red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{r}}}}$

konvergira ako je r > 1, a divergira ako za r ≤ 1, što se može dokazati integralnim testom, opisanim ispod u dijelu o testovima konvergencije. Kao funkcija od r, suma ovog reda je Riemannova zeta funkcija.

• Teleskopski red

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(b_{n}-b_{n+1})}$

konvergira ako niz b_n konvergira u limes L kada n teži u beskonačnost. Vrijednost reda je tada b₁ − L.

Testovi konvergencije

Glavni članak: Testovi konvergencije

• Test poređenja 1: Ako je ∑b_n  apsolutno konvergentan red takav da je |a_n | ≤ C |b_n | za neki broj C  i za dovoljno veliki broj n , tada i red ∑a_n  konvergira apsolutno. Ako red ∑|b_n | divergira, a |a_n | ≥ |b_n | za svaki dovoljno velik n , tada red ∑a_n  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu a_n  promijeni znak).
• Test poređenja 2: Ako je ∑b_n  apsolutno konvergentan red takav da |a_n+1 /a_n | ≤ |b_n+1 /b_n | za dovoljno veliki n , tada i red ∑a_n  konvergira apsolutno. ako red ∑|b_n | divergira, a |a_n+1 /a_n | ≥ |b_n+1 /b_n | za sve dovoljno velike n , tada red ∑a_n  ne konvergira apsolutno (iako može biti uslovno konvergentan, npr. ako se članu a_n  promijeni znak).
• D'Alambertov test: Ako se odnos |a_n+1/a_n| približava broju manjem od jedan dok n teži u beskonačnost, tada red ∑ a_n konvergira apsolutno. Kada je taj odnos 1, konvergencija se, najčešće, određuje preko drugog testa.
• Cauchyjev korjeni test: ako postoji konstanta C < 1 takva da je |a_n|^1/n ≤ C za svedovoljno velike n, tada red ∑ a_n konvergira apsolutno.
• Cauchyjev integralni test: Ako je f(x) pozitivna, monotono opadajuća i neprekidna funckija definisana na intervalu [1, ∞) sa f(n) = a_n za sve n, tada red ∑ a_n konvergira ako i samo ako postoji integral ∫₁^∞ f(x) dx.
• Leibnizov test: Red oblika ∑ (−1)ⁿ a_n (sa a_n ≥ 0) naziva se alternativni red. Takvi redovi konvergiraju ako je niz a_n monotono opadajući, te ako konvergira prema nuli.
• Potreban uslov konvergencije reda: Ako je lim_{n→∞ a n ≠ 0, tada red divergira.}
• Za neke posebne vrste redova postoje specijalizovani testovi konvergencije, npr. za Fourierov red postoji Dinijev test.

Potencijalni red

Nekoliko bitnih funkcija može se razviti u Taylorov red; ovo je beskonačan red koji sadrži potenciju nezavisne promjenljive, te se zbog toga nazivaju potencijalni redovi.Na primjer, red

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}$

konvergira u ${\displaystyle e^{x}}$ za sve x. Također pogledajte članak radijus konvergencije.

Kroz historiju, matematičari, kao što su Leonhard Euler, su slobodno manipulisali beskonačnim redovima, čak i ako nisu bili konvergentni. Kada se pročulo o kalkulusu sa ispravnim i osnovanim temeljima u 19. vijeku, zahtijevani su rigorozni testovi konvergencije.

Dirichletov red

Glavni članak: Dirichletov red

Dirichletov red je onaj red koji ima oblik

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{a_{n} \over n^{s}},}$

gdje je s kompleksan broj. Općenito, ovaj red konvergira ako je realni dio od s veći od broja koji se naziva apscisa konvergencije.

Povezano

• Konvergentni redovi
• Divergentni redovi
• Transformacije niza
• Beskonačni proizvod
• Neprekidni razlomak
• Spisak matematičkih redova