Kruh

Kruh (z praslovan. krǫgъ, ktoré pochádza z praindoeur. krengh- odvodeného od [s]ker- – krútiť, ohýbať;^[1] lat. circulus) je množina bodov v rovine, ktorých vzdialenosť od pevného bodu (stredu kružnice) je menšia alebo rovná pevne danému kladnému číslu (nazývaným polomer). Hranicu kruhu tvorí kružnica a je podmnožinou kruhu. Kruh je teda plocha ohraničená kružnicou vrátane nej samej.

O iných významoch výrazu Kruh pozri Kruh (rozlišovacia stránka).

Kruh so zvýrazneným polomerom a priemerom. M – stred, r – polomer, d – priemer

Pre obvod kruhu platí:${\displaystyle O=2\pi r}$, kde ${\displaystyle \pi =3,1415926...}$ je konštanta (Ludolfovo číslo) a ${\displaystyle r}$ je polomer kruhu.

Pre obsah kruhu platí:${\displaystyle S=\pi r^{2}={\frac {\pi d^{2}}{4}}}$

Rovnice kruhu

Všeobecná rovnica kruhu je:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}+ax+by+c\leq 0}$

Stredová rovnica kruhu je:

${\displaystyle (x-x_{M})^{2}+(y-y_{M})^{2}\leq r^{2}}$

Parametrická rovnica kruhu je:

${\displaystyle x=x_{M}+t\cdot cos(\phi )}$

${\displaystyle y=y_{M}+t\cdot sin(\phi )}$

Symboly:
${\displaystyle a,b,c}$ sú konštanty, pre ktoré platí ${\displaystyle a^{2}+b^{2}-4ac>0}$
${\displaystyle x_{M}}$ a ${\displaystyle y_{M}}$ sú súradnice stredu M kruhu
${\displaystyle x}$ a ${\displaystyle y}$ sú súradnice bodu, ktorý patrí množine „kruh“
${\displaystyle r}$ je polomer kruhu
${\displaystyle t}$ je vzdialenosť ${\displaystyle 0\leq t\leq r}$ od stredu ${\displaystyle M}$ ako parameter
${\displaystyle \phi }$ je uhol ${\displaystyle 0\leq \phi \leq 2\pi }$ ako parameter

Plocha kruhu

Pre obsah S kruhu platí vzťah ${\displaystyle S=\pi r^{2}}$. Znamená to, že štvorcov s polomerovým základom sa do kruhu zmestí práve ${\displaystyle \pi }$. ${\displaystyle S=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\frac {\mathrm {D} (r\cos \varphi ,r\sin \varphi )}{\mathrm {D} (r,\varphi )}}\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}{\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}\int _{0}^{\frac {\pi }{2}}r\,d\varphi \,dr=4\int _{0}^{r}{\frac {\pi }{2}}r\,dr=\pi r^{2}}$

Vlastnosti

Táles vraj prvý dokázal, že priemer rozdeľuje kruh na dve zhodné časti (podľa Prokla).^[2]