Riemannova domneva
From Wikipedia, the free encyclopedia
Riemannova domneva je v matematiki domneva, da imajo vse netrivialne ničle Riemannove funkcije ζ realni del enak 1/2. Predlagal jo je Bernhard Riemann leta 1859.[1] Ime domneve je povezano tudi z nekaterimi drugimi zelo sorodnimi pojmi, kot na primer Riemannova domneva o krivuljah v končnih obsegih.
Riemannova domneva obsega rezultate o porazdelitvi praštevil. Skupaj z ustreznimi posplošitvami jo imajo nekateri matematiki za najpomembnejši nerešeni problem v čisti matematiki.[2] Riemannova domneva je skupaj z Goldbachovo domnevo del Hilbertovega osmega problema na Hilbertovem seznamu 23-ih nerešenih problemov iz leta 1900. Kot edini problem s Hilbertovega seznama je uvrščena tudi med problemi tisočletne nagrade Clayjevega matematičnega inštituta.
Riemannova funkcija ζ(s) je funkcija, katere argument s je lahko poljubno kompleksno število različno od 1 in katere vrednosti so tudi kompleksne. Njene ničle se pojavljajo pri negativnih sodih celih številih – , kadar je Te ničle se imenujejo trivialne ničle. Odvod Riemannove funkcije ζ v trivialnih ničlah je dan analitično:[3][4]
tako da se predznak odvoda izmenično spreminja. Vendar te ničle niso edine vrednosti za katere je vrednost funkcije ζ enaka nič. Druge ničle se imenujejo netrivialne ničle. Riemannova domneva zadeva lege teh netrivialnih ničel in pravi:
- da je realni del vseh netrivialnih ničel Riemannove funkcije ζ enak 1/2 (), oziroma enakovredno, za .[5]
V novejšem času se k zgornji definiciji doda pogoj, da so netrivialne ničle enostavne, kar pomeni, da je v njih odvod različen od nič:[4]
Če je domneva pravilna, tako vse netrivialne ničle ležijo na kritični premici, ki vsebuje kompleksna števila , kjer je t realno število, i pa imaginarna enota, in so enostavne. Zapis je standarden že od Riemannovega izvirnega članka.[6] Sicer se rabijo tudi drugačni zapisi, na primer še posebej za netrivialne ničle . Prve vrednosti t so:
n |
|
OEIS |
A013629 |
A002410 |
A092783 |
A153595 |
A161914 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
1 | 14,134725141734... | A058303 | 14 | 14 | 15 | 14 | 14 |
2 | 21,022039638771... | A065434 | 21 | 21 | 22 | 6 | 7 |
3 | 25,010857580145... | A065452 | 25 | 25 | 26 | 3 | 4 |
4 | 30,424876125859... | A065453 | 30 | 30 | 31 | 5 | 5 |
5 | 32,935061587739... | A192492 | 32 | 33 | 33 | 2 | 3 |
6 | 37,586178158825... | A305741 | 37 | 38 | 38 | 4 | 5 |
7 | 40,918719012147... | A305742 | 40 | 41 | 41 | 3 | 3 |
8 | 43,327073280914... | A305743 | 43 | 43 | 44 | 2 | 2 |
9 | 48,005150881167... | A305744 | 48 | 48 | 49 | 4 | 5 |
10 | 49,773832477672... | A306004 | 49 | 50 | 50 | 1 | 2 |
Iz prvih vrednosti je razvidno, da je , vendar se pri n 9137 neenakost obrne, saj je:[7]
Naslednja ničla je spet večja od n pri . Potem naprej vse do n 107 neenakost spet velja in se verjame, da velja naprej.
Riemannova funkcija ζ in njen logaritemski odvod sta povezana:[8]
kjer je Λ von Mangoldtova funkcija.
Ničle se lahko zapišejo z zaporedjem:
Rademacher je dokazal, da če je Riemannova domneva pravilna, imaginarni deli tega zaporedja tvorijo enakomerno porazdeljeno zaporedje. Hlawka je pokazal kako se lahko Rademacherjev rezultat dokaže brez privzetka o pravilnosti Riemannove domneve.[9] Rademacher-Hlawkov izrek pravi, da so za vsako realno število ulomljeni deli zaporedja:
enakomerno porazdeljeni v smislu, da za vsak podinterval del točk iz podintervala težijo k , ko gre .
O Riemannovi domnevi obstaja več netehničnih knjig, kot npr. avtorjev: Derbyshire,[10] Rockmore,[11] Sabbagh,[12][13] du Sautoy.[14] Knjige avtorjev: Edwards,[15] Patterson,[16], Borwein idr.,[17] in Mazur; Stein[18] podajajo matematični uvod, Titchmarsh,[19] Ivić,[20] in Karacuba; Voronin[21] pa so naprednejše monografije.