Bikvaternion

Bikvaternion (tudi dvojni kvaternion) je v abstraktni algebri število z obliko ${\displaystyle w+xi+yj+zk\,}$,

kjer so

• ${\displaystyle x,y,z\,}$ kompleksna števila
• ${\displaystyle {1,i,j,k}\,}$ elementi, ki se množijo kot v kvaternionski grupi.

Podobno kot imamo tri tipe kompleksnih števil, imamo tudi tri tipe bikvaternionov

• običajne kvaternione, ko so koeficienti navadna kompleksna števila
• hiperbolične kvaternione, ko so ${\displaystyle w,x,y,z\,}$ hiperbolična števila
• Studyjevi kvaternioni (dualni kvaternioni), če so ${\displaystyle w,x,y,z\,}$ dualna števila.

Definicija

Če je ${\displaystyle {1,i,j,k}\,}$ baza kvaternionov in so ${\displaystyle u,v,w,x\,}$ kompleksna števila, potem je bikvaternion ${\displaystyle q\,}$ enak

${\displaystyle q=u1+vi+wj+xk\,}$ ^[1]

Da bi ločila kvadratni koren iz -1 nad skalarnim obsegom ${\displaystyle \mathbb {C} \,}$ v kvaternionih sta irski matematik, fizik in astronom William Rowan Hamilton ^[2][3] (1805 - 1865) in irski matematik Arthur William Conway (1875 – 1950) prevzela dogovor, da je oznaka enaka ${\displaystyle h\,}$, ker je ${\displaystyle i\,}$ v kvaternionski grupi. To pomeni, da je

${\displaystyle hi=ih\,}$, ${\displaystyle hj=jh\,}$, in ${\displaystyle hk=kh\,}$, ker je ${\displaystyle h\,}$ skalar.

Značilnosti

Algebra bikvaternionov je asociativna, ni pa komutativna. Lahko se obravnava kot tenzorski produkt ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes \mathbb {H} \,}$ (nad realnimi števili), kjer je ${\displaystyle \mathbb {C} }$ obseg kompleksnih števil in ${\displaystyle \mathbb {H} \,}$ je algebra kvaternionov. Bikvaternioni so samo kompleksifikacija realnih kvaternionov.

Bikvaternioni imajo dve konjugirani obliki

• kvaternionska konjugacija ${\displaystyle q^{*}=w-xi-yj-zk\!}$
• kompleksna konjugacija kvaternionskih koeficientov

${\displaystyle q^{\star }=w^{\star }+x^{\star }i+y^{\star }j+z^{\star }k\!}$ kjer je

• ${\displaystyle z^{\star }=a-bh}$ kadar je ${\displaystyle z=a+bh,\quad a,b\in R,\quad h^{2}=-1\,}$.

Pri tem pa velja

${\displaystyle (pq)^{*}=q^{*}p^{*},\quad (pq)^{\star }=p^{\star }q^{\star },\quad (q^{*})^{\star }=(q^{\star })^{*}\,}$.

Vloga v teoriji kolobarjev

Linearna predstavitev

Poglejmo zmnožek dveh matrik:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}i&0\\0&-i\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}$ = ${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&i\\i&0\end{pmatrix}}}$.

Vsak izmed treh skupin podatkov ima kvadrat, ki je enak negativni enotski matriki. Če zmnožek matrik prikažemo kot ${\displaystyle ij=k\,}$, potem se dobi podgrupa matričnih grup, ki je izmorfna kvaternionski grupi. To pomeni, da

${\displaystyle {\begin{pmatrix}u+iv&w+ix\\-w+ix&u-iv\end{pmatrix}}}$

predstavlja kvaternion.

Podalgebre

Če obravnavamo bikvaternionsko algebro nad skalarnim obsegom realnih števil ${\displaystyle \mathbb {R} \,}$, potem tvori bazo ${\displaystyle {1,h,i,hi,hj,hk}\,}$ tako, da ima algebra osem realnih razsežnosti. Pri tem pa je

${\displaystyle (hi)^{2}\ =\ h^{2}i^{2}\ =\ (-1)(-1)\ =\ +1}$.

Podalgebra bikvaternionov je izomorfna ravnini hiperboličnih števil, ki imajo algebraično strukturo zgrajeno okoli hiperbol. Elementa ${\displaystyle hj\,}$ in ${\displaystyle hk\,}$ tudi določata takšne podalgebre. Pri tem pa je ${\displaystyle \lbrace x+yj:x,y\in C\rbrace }$ algebra, ki je izomorfna s tesarinami.

Tretjo podalgebro določata ${\displaystyle hj\,}$ in ${\displaystyle hk\,}$. Pri tem je treba upoštevati, da je ${\displaystyle (hj)(hk)=(-1)i\,}$ in, da je kvadrat tega elementa enak -1. Ti elementi generirajo dihedralno grupo kvadratov. Linearni podprostor z bazo ${\displaystyle {1,i,hj,hk}\,}$ tvori kokvaternionsko algebro.