Coxeterjeva grupa

Coxeterjeva grupa je v matematiki abstraktna grupa, ki omogoča formalni opis grupe v okviru zrcalnih simetrij. Coxeterjeve grupe so končne evklidske zrcalne grupe. Kot zgled služijo simetrijske grupe pravilnih poliedrov. Coxeterjeve grupe so končne in ne morejo biti opisane s simetrijo in evklidskim zrcaljenjem.

Coxeterjeve grupe se veliko uporabljajo. Zgledi končnih Coxeterjevih grup vključujejo grupe simetrije pravilnih politopov in Weylovih grup enostavnih Liejevih algeber. Zgled neskončne Coxeterjeve grupe so tudi trikotniške grupe, ki odgovarjajo pravilni teselaciji evklidske in hiperbolične ravnine.

Grupe se imenujejo po angleško-kanadskem matematiku in geometru H. S. MacDonaldu Coxeterju (1907–2003).

Definicija

Coxeterjevo grupo se lahko definira kot grupo s predstavitvijo grupe kot:

${\displaystyle \left\langle r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n}\mid (r_{i}r_{j})^{m_{ij}}=1\right\rangle \!\,,}$

kjer je:

• ${\displaystyle m_{ii}=1}$
• ${\displaystyle m_{ij}\geq 2}$ za ${\displaystyle i\neq j}$

Pogoj ${\displaystyle m_{ij}=\infty }$ pomeni, da se odnosa v obliki ${\displaystyle (r_{i}r_{j})^{m}}$ ne da prikazati.

Končne Coxeterjeve grupe

Coxeterjevi grafi končnih Coxeterjevih grup.

Razvrščanje

Končne Coxeterjeve grupe so razvrstili na osnovi Coxeter-Dinkinovih diagramov. Vse pa so predstavljene z zrcalnimi grupami končnorazsežnih evklidskih prostorov.

Končne Coxeterjeve grupe so sestavljene iz treh enoparameterskih družin z rastočim rangom ${\displaystyle A_{n},{\text{ }}BC_{n},{\text{ }}D_{n},}$, eno enoparametersko družino z razsežnostjo dva (${\displaystyle I_{2}(p)}$) in šestimi posebnimi grupami ${\displaystyle E_{6},{\text{ }}E_{7},{\text{ }}E_{8},{\text{ }}F_{4},{\text{ }}H_{3},}$ in ${\displaystyle H_{4}}$.

Weylove grupe

Glavni članek: Weylove grupe.

Mnoge Coxeterjeve grupe, vendar ne vse, so Weylove grupe, vsaka Weylova grupa pa se lahko prikaže kot Coxeterjeva grupa. Weylove grupe sta družini ${\displaystyle A_{n},BC_{n},}$ in ${\displaystyle D_{n},}$ ter

Značilnosti

Nekatere značilnosti končnih Coxeterjevih grup so podane v naslednji preglednici:

simbol grupe	drugi simbol	notacija z oklepaji	rank	red	sorodni politopi	Coxeter-Dinkinov diagram
An	An	[3n]	n	(n + 1)!	n-simpleks	..
BCn	Cn	[4,3n-1]	n	2n n!	n-hiperkocka / n-ortopleks	...
Dn	Bn	[3n-3,1,1]	n	2n−1 n!	n-polhiperkocka	...
E6	E6	[32,2,1]	6	72x6! = 51840	221, 122
E7	E7	[33,2,1]	7	72x8! = 2903040	321, 231, 132
E8	E8	[34,2,1]	8	192x10! = 696729600	421, 241, 142
F4	F4	[3,4,3]	4	1152	24-celica
G2	-	[6]	2	12	šestkotnik
H2	G2	[5]	2	10	petkotnik
H3	G3	[3,5]	3	120	ikozaeder / dodekaeder
H4	G4	[3,3,5]	4	14400	120-celica / 600-celica
I2(p)	D2p	[p]	2	2p	p-kotnik

Simetrijske grupe pravilnih politopov

Vse simetrijske grupe pravilnih politopov so končne Coxeterjeve grupe.

Znane so tri skupine pravilnih politopov v vseh mogočih razsežnostih. Simetrijska grupa pravilnega n-simpleksa je simetrijska grupa S_n+1, ki je znana tudi kot Coxeterjeva grupa tipa A_n. Simetrijska grupa n-kocke in njene dualne oblike n-ortopleksa je BC_n, ki pa je znana kot hiperoktaederska grupa.

Posebni pravilni politopi v dveh, treh in štirih razsežnostih odgovarjajo drugim Coxeterjevim grupam. V dveh razsežnostih diedrske grupe, ki je grupa simetrije pravilnih mnogokotnikov, tvorijo skupino I₂(p). V treh razsežnostih je simetrijska grupa pravilnih dodekaedrov in njihove dualne oblike ikozaedra je H₃, ki je znana kot polna ikozaederska grupa. V štirih razsežnostih so znani trije posebni pravilni politopi. To so 24-celica, 120-celica in 600-celica.

Coxeterjeve grupe tipa D_n, E₆, E₇ in E₈ so polpravilni politopi.

Pregled družin politopov

grupa	An	BCn		Dn	E6 E7 E8 F4 G2			Hn		In(p)
2	(trikotnik)	kvadrat			šestkotnik			petkotnik		p-kotnik
3	tetraeder	kocka	oktaeder	tetraeder				dodekaeder	ikozaeder
4	5-celica	teserakt	16-celica	polteserakt	24-celica			120-celica	600-celica
5	5-simpleks	5-kocka	5-ortopleks	5-polkocka
6	6-simpleks	6-kocka	6-ortopleks	6-polkocka	122	221
7	7-simpleks	7-kocka	7-ortopleks	7-polkocka	132	231	321
8	8-simpleks	8-kocka	8-ortopleks	8-polkocka	142	241	421
9	9-simpleks	9-kocka	9-ortopleks	9-polkocka
10	10-simpleks	10-kocka	10-ortopleks	10-polkocka
družina n	n-simpleks	n-hiperkocka	n-ortopleks	n-polkocka	1k2	2k1	k21

Opomba:Oznake: A_n, B_n, C_n, D_n, H_n, E₆, E₇, E₈, F₄ in G₂ so Coxeterjeva števila za posamezne Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe

Afine Coxeterjeve grupe so druga pomembna skupina Coxeterjevih grup. To so tudi končne grupe, toda vsaka vsebuje normalno Abelovo podgrupo tako, da je faktorska grupa končna. Vsekakor pa je faktorska grupa Coxeterjeva grupa. Coxeterjev graf se dobi iz Coxeterjevega grafa Coxeterjeve grupe z dodajanjem novega vozlišča in dveh dodatnih povezav. V nadaljevanju so prikazane afine Coxeterjeve grupe.

simbol grupe	Wittov simbol	notacija z oklepaji	sorodne uniformne teselacije	Coxeter-Dinkinov diagram
${\displaystyle {\tilde {A}}_{n}}$	Pn+1	[3[n+1]]	simplektično satovje ${\displaystyle {\tilde {A}}_{2}}$:trikotno tlakovanje ${\displaystyle {\tilde {A}}_{3}}$:tetraedersko-oktaedersko satovje	...
${\displaystyle {\tilde {B}}_{n}}$	Sn+1	[4,3n-2,31,1]	polkockino satovje	...
${\displaystyle {\tilde {C}}_{n}}$	Rn+1	[4,3n-1,4]	hiperkockino satovje	...
${\displaystyle {\tilde {D}}_{n}}$	Qn+1	[ 31,1,3n-3,31,1]	polhiperkubično satovje	...
${\displaystyle {\tilde {E}}_{6}}$	T7	[32,2,2]	222
${\displaystyle {\tilde {E}}_{7}}$	T8	[33,3,1]	331, 133
${\displaystyle {\tilde {E}}_{8}}$	T9	[35,2,1]	521, 251, 152
${\displaystyle {\tilde {F}}_{4}}$	U5	[3,4,3,3]	16-cell satovje 24-celično satovje
${\displaystyle {\tilde {G}}_{2}}$	V3	[6,3]	šestkotno tlakovanje in trikotno tlakovanje
${\displaystyle {\tilde {I}}_{1}}$	W2	[∞]	apeirogon

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »CoxeterGroup«. MathWorld.
• Coxeterjeve grupe Arhivirano 2012-11-17 na Wayback Machine. (angleško)