Kolobar

Kolobár (tudi króžni kolobár) je geometrijski lik, ki ga omejujeta različno veliki istosrediščni krožnici.

Kolobar

Ploščina kolobarja

Za druge pomene glej kolobar (razločitev).

Odprti kolobar je topološko istoroden odprtemu valju ${\displaystyle S^{1}\times (0,1)}$ in prebodeni ravnini.

Ploščina

Ploščina kolobarja, ki ga omejujeta krožnici s polmeroma R in r, je enaka razliki njunih ploščin:

${\displaystyle p=\pi R^{2}-\pi r^{2}=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)\!\,.}$

Ploščina kolobarja izhaja tudi iz dolžine najdaljše daljice, ki lahko v celoti leži znotraj kolobarja (2d na sliki). To se dokaže s Pitagorovim izrekom - najdaljša daljica, ki lahko v celoti leži znotraj kolobarja, je tangenta na manjšo krožnico in v dotikališču tvori pravokotni trikotnik z njenim polmerom. d in r sta kateti pravokotnega trikotnika s hipotenuzo R, ploščina kolobarja pa je enaka ploščini krožnice s tem polmerom d:

${\displaystyle p=\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)=\pi d^{2}\!\,.}$

Enak rezultat je z infinitezimalnim računom, če se razdeli kolobar na neskončno število kolobarjev z infinitezimalno majhno širino ${\displaystyle \mathrm {d} \rho }$ in površino ${\displaystyle 2\pi \rho \,\mathrm {d} \rho }$ ( = obseg × širina), in se integrira od ${\displaystyle \rho =r}$ do ${\displaystyle \rho =R}$:

${\displaystyle p=\int _{r}^{R}2\pi \rho \,\mathrm {d} \rho =\pi \left(R^{2}-r^{2}\right)\!\,.}$

Ploščina izseka kolobarja pod kotom θ, s θ podanim v radianih, je enaka:

${\displaystyle p={\frac {\theta }{2}}\left(R^{2}-r^{2}\right)\!\,.}$

Glej tudi

• izrek o kolobarju
• torus
• Hadamardov izrek o treh krožnicah

Zunanje povezave

• Weisstein, Eric Wolfgang. »Annulus«. MathWorld.