Logaritemski integral

Logaritemski integral (tudi integralski logaritem ali integralni logaritem,^[1]:203 označba li) je v matematiki specialna neelementarna funkcija, določena za vsa pozitivna realna števila ${\displaystyle x\neq 1\,}$ z določenim integralom:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\int _{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\!\,.}$

Graf fukcije logaritemskega integrala ${\displaystyle \operatorname {li} x\,;\,0<x\leq 5}$

Tukaj ln označuje naravni logaritem. Funkcija ${\displaystyle 1/\ln t\,}$ ima singularno točko v t = 1, tako, da je treba integral za x > 1 predočiti s Cauchyjevo glavno vrednostjo:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\lim _{\varepsilon \to 0}\left(\int _{0}^{1-\varepsilon }{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}+\int _{1+\varepsilon }^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}\right)\!\,.}$

Obnašanje funkcije pri x → ∞ je dano z:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\Theta \left({\frac {x}{\ln x}}\right)\!\,.}$

(glej zapis z velikim O).

Logaritemski integral je v glavnem pomemben, ker se pojavlja pri ocenitvi gostote praštevil, še posebej v praštevilskem izreku:

${\displaystyle \pi (x)\sim \operatorname {Li} (x)\!\,,}$

kjer π(x) označuje multiplikativno aritmetično funkcijo - število praštevil manjših ali enakih x, Li(x) pa je funkcija ordinatnega logaritemskega integrala, povezana z li(x) kot Li(x) = li(x) - li(2).

Ordinatni logaritemski integral da še malo boljšo oceno za funkcijo π kot li(x). Funkcija li(x) je povezana z eksponentnim integralom Ei(x) preko enačbe:

${\displaystyle \operatorname {li} (x)=\operatorname {Ei} (\ln x)\quad {\mbox{za vse pozitivne realne}}\;x\neq 1\!\,.}$

To vodi do razvojev v vrsto li(x). Na primer:

${\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})=\gamma +\ln \left|u\right|+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {u^{n}}{n\cdot n!}}\quad {\rm {za}}\;u\neq 0\!\,,}$

kjer je γ ≈ 0,57721 56649 01532 ... Euler-Mascheronijeva konstanta. Funkcija li(x) ima eno pozitivno ničlo pri x ≈ 1,45136 92348 .... To število je znano kot Ramanudžan-Soldnerjeva konstanta.

Glej tudi

• Jørgen Pedersen Gram
• Skewesovo število