Morfizem

Morfizem (včasih tudi homomorfizem) je v matematiki abstrakcija, ki jo dobimo iz preslikave, ki ohranja strukturo dveh matematičnih struktur

Definicija

Kategorije sestavljata dva razreda. Prvi razred so objekti, drugi pa morfizmi.

Nad vsakim morfizmom sta definirani dve operaciji: domena funkcije (izvor) in kodomena (cilj). Kadar ima morfizem ${\displaystyle f\,}$ domeno ${\displaystyle X\,}$ in kodomeno ${\displaystyle Y\,}$, lahko zapišemo ${\displaystyle f:X\to Y\,}$. S puščico smo označili smer od domene do kodomene.

Za vsake tri objekte ${\displaystyle X,Y,Z\,}$ med njimi obstoja binarna operacija tako, da velja

${\displaystyle \operatorname {h} om(X,Y)\times \operatorname {h} om(Y,Z)\to \operatorname {h} om(X,Z)\,}$. Imenuje se kompozitum. Kompozituma ${\displaystyle f:X\to Y\,}$ in ${\displaystyle g:Y\to Z\,}$ zapišemo kot

${\displaystyle g\circ f\,}$. Kompozitum morfizmov pogosto opišemo s pomočjo komutativnega diagrama.

Morfizem zadošča dvema aksiomoma.

• identičnost: Za vsak objekt ${\displaystyle X\,}$ obstoja takšen morfizem ${\displaystyle \operatorname {i} d_{X}:X\to X\,}$ (imenujemo ga morfizem identitete) tako, da za vsaki morfizem ${\displaystyle f:A\to B\,}$ velja ${\displaystyle \operatorname {i} d_{B}\circ f=f=f\circ \operatorname {i} d_{A}\,}$.
• asociativnost: ${\displaystyle h\circ (g\circ f)=(h\circ g)\circ f\,}$.

Kadar je ${\displaystyle C}$ konkretna kategorija je morfizem identitete identična funkcija in kompozitum je običajni kompozitum funkcij.

Zgledi

• v konkretnih kategorijah, ki jih proučuje univerzalna algebra, se morfizmi imenujejo homomorfizmi.
• v kategoriji topoloških prostorov so morfizmi zvezne funkcije, izomorfizem pa se imenuje homeomorfizem.
• v kategoriji gladkih mnogoterosti so morfizmi gladke funkcije, izomorfizmi pa se imenujejo difeomorfizmi.
• v kategoriji malih kategorij se funktor obravnava kot morfizem
• v kategoriji funktorjev se morfizmi obravnavajo kot naravne transformacije.

Glej tudi

• anamorfizem
• avtomorfizem
• katamorfizem
• difeomorfizem
• endomorfizem
• epimorfizem
• homeomorfizem
• homomorfizem
• hilomorfizem
• izomorfizem
• monomorfizem
• normalni morfizem
• paramorfizem
• kriptomorfizem
• ničelni morfizem
• morfizem grafov

Zunanje povezave

• Vrste morfizmov na PlanetMath (angleško)
• Morfizem grafičnih elementov, diplomska naloga Karel Ravnjak^{[mrtva povezava]} (slovensko)