Poyntingov vektor

Poyntingov véktor (ali tudi Umov-Poyntingov vektor [pójtingov ~/úmov-pójtingov ~]; označba ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}$ ali ${\displaystyle {\vec {\mathbf {S} }}}$) je v fiziki vektorska količina in predstavlja smer in velikost energijskega toka elektromagnetnega polja. Imenuje se po angleškem fiziku Johnu Henryju Poyntingu, ki ga je leta 1884 uvedel. Določen je kot:

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}={\vec {\mathbf {E} }}\times {\vec {\mathbf {H} }}\!\,.}$

Sevanje dipola. Dipol je vzporeden z osjo z, električno polje in Poyntingov vektor pa ležita v ravnini x-z.

Tako je izvorno zapisal vektor tudi Poynting sam in takšno obliko pogosto imenujejo Abrahamova oblika. Tu sta ${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}}$ jakost električnega polja in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}}$ jakost magnetnega polja.^[1][2] (Vse krepke črke predstavljajo vektorje.) Gostoto energijskega toka (v W/m²) izračunamo kot časovno povprečje Poyntingovega vektorja:

${\displaystyle j={\overline {\mathcal {P}}}\!\,.}$^[3]

Včasih rabijo drugo definicijo z jakostjo električnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}}$ in gostoto magnetnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}}$. V obliki Minkowskega sta gostota električnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {D} }}}$ in gostota magnetnega polja ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}}$. S količinama ${\displaystyle {\vec {\mathbf {D} }}}$ in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}}$ je moč zapisati Poyntingov vektor v četrti obliki.^[4] Izbira količin je sporna. Pfeifer idr. lepo povzamejo stoletja dolg spor med zagovorniki Abrahamove oblike in oblike Minkowskega.^[5] Druga definicija je smiselna, ker sta ${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}}$ in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}}$ osnovni količini.^[5]

Poyntingov vektor sta neodvisno odkrila tudi Oliver Heaviside in Nikolaj Aleksejevič Umov (1874).^[6] Umov je podal obliko vektorja za energijski tok v kapljevinasti in elastični snovi v popolnoma splošnem smislu.^[7] Poyntingovo delo s tega področja je bilo prvič objavljeno leta 1884.^[1]

Interpretacija

Poyntingov vektor se pojavlja v Poyntingovem izreku, zakonu o ohranitvi energije:^[2]

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\mathbf {\nabla } \cdot {\vec {\mathcal {P}}}=-{\vec {\mathbf {j} }}_{\rm {f}}\cdot {\vec {\mathbf {E} }},}$

kjer je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}_{\rm {f}}}$ gostota električnega toka prostih nabojev, ${\displaystyle u\!\,}$ pa elektromagnetna gostota energijskega toka:

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left({\vec {\mathbf {E} }}\cdot {\vec {\mathbf {D} }}+{\vec {\mathbf {B} }}\cdot {\vec {\mathbf {H} }}\right)\!\,.}$

Prvi člen na desni strani predstavlja čisti elektromagnetni energijski tok v majhno prostornino, drugi člen pa odšteti del dela prostih električnih tokov, ki se niso nujno pretvorili v elektromagnetno energijo (disipacija, toplota). Pri tej deiniciji mejni električni tokovi niso vključeni v ta člen, in namesto tega prispevajo k ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}}$ in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}$.

Pri tem je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {u} }}}$ podana le, če so snovi nedisperzivne in enolične, oziroma, če lahko konstitutivni zvezi zapišemo kot:

${\displaystyle {\vec {\mathbf {D} }}=\epsilon {\vec {\mathbf {E} }},\;\;\;{\vec {\mathbf {H} }}={\vec {\mathbf {B} }}/\mu \!\,}$

kjer sta ε in μ konstanti (odvisni od snovi skozi katero teče energija), dielektričnost in magnetna permeabilnost snovi.^[2]

To praktično omejuje Poyntingov izrek v tej obliki za polja v praznem prostoru. Posplošitev za disipativne snovi je možna pod določenimi pogoji za ceno dodatnih členov in izgubo njihovih jasnih fizikalnih interpretacij.^[2]

Poyntingov vektor se običajno interpretira kot energijski tok, kar strogo gledano pravilno le za elektromagnetno valovanje. V splošnem primeru se kot količina pojavlja kot divergenca, kar pomeni, da lahko opiše le spremembo gostote energijskega toka v prostoru, ne pa tudi energijski tok.

Formulacija s členi mikroskopskih polj

V nekaterim primerih je ustrezneje definirati Poyntingov vektor ${\displaystyle {\mathcal {P}}}$ kot:

${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}={\frac {1}{\mu _{0}}}{\vec {\mathbf {E} }}\times {\vec {\mathbf {B} }}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \mu _{0}}$ indukcijska konstanta. Lahko se izvede neposredno iz Maxwellovih enačb s skupnim nabojem in tokom, ter zakonom o Lorentzevi sili.

Odgovarjajoča oblika Poyntingovega izreka je:

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot {\vec {\mathcal {P}}}=-{\vec {\mathbf {j} }}\cdot {\vec {\mathbf {E} }}\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {j} }}}$ skupna gostota električnega polja in elektromagnetna gostota energijskega toka ${\displaystyle u\!\,}$:

${\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon _{0}{\vec {\mathbf {E} }}^{2}+{\frac {{\vec {\mathbf {B} }}^{2}}{\mu _{0}}}\right)\!\,,}$

kjer je ${\displaystyle \varepsilon _{0}\!\,}$ influenčna konstanta.

Obe definiciji Poyntingovega vektorja sta enakovredni v vakuumu in nemagnetnih snoveh, kjer je ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}=\mu _{0}{\vec {\mathbf {H} }}}$. V vseh drugih primerih se razlikujeta za ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}=1/\mu _{0}{\vec {\mathbf {E} }}\times {\vec {\mathbf {B} }}}$, odgovarjajoče gostote ${\displaystyle u}$ pa so le sevajoče, saj disipacijski člen ${\displaystyle -{\vec {\mathbf {j} }}\cdot {\vec {\mathbf {E} }}}$ pokriva celotni tok. V definiciji s ${\displaystyle {\vec {\mathbf {H} }}}$ so prispevki od mejnih tokov, ki potem manjkajo v disipacijskem členu.^[8]

Ker sta v izpeljavi ${\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}=1/\mu _{0}{\vec {\mathbf {E} }}\times {\vec {\mathbf {B} }}}$ potrebni le mikroskopski polji ${\displaystyle {\vec {\mathbf {E} }}}$ in ${\displaystyle {\vec {\mathbf {B} }}}$, se lahko popolnoma ognemo privzetku o prisotnosti poljubne snovi, tako da Poyntingov vektor in tudi tako definiran izrek veljata v splošnem - v vakuumu in v vsakršni snovi. To še posebej velja za elektromagnetno gostoto energijskega toka v nasprotju z zgornjim primerom.^[8]