Ptolemajev izrek
From Wikipedia, the free encyclopedia
Remove ads
Ptolemajev izrèk [ptolemájev ~] je izrek iz ravninske geometrije, ki povezuje diagonali in stranice tetivnega štirikotnika, štirikotnika, ki mu očrtamo krožnico. Izrek se imenuje po Ptolemaju. Ptolemaj je s pomočjo izreka izdelal razpredelnico tetiv, trigonometrično razpredelnico, ki jo je uporabil v astronomiji.

Definicija
Izrek pravi, da je v vsakem tetivnem štirikotniku produkt njegovih dveh diagonal enak vsoti produktov paroma nasprotnih stranic:
Uporabljamo ga v trigonometriji. Če je tetivni štirikotnik pravokotnik, velja Pitagorov izrek. V splošnejši obliki velja Ptolemajeva neenakost:
Enakost velja le, kadar je štirikotnik tetivni, kadar vsa njegova oglišča ležijo na eni krožnici.
Velja tudi obrat Ptolemajevega izreka: če je vsota produktov paroma nasprotnih stranic v štirikotniku enaka produktu njegovih dveh diagonal, je štirikotnik tetivni.
Remove ads
Posebni primeri
Enakostranični trikotnik
Iz Ptolemajevega izreka kot posledica sledi izrek o enakostraničnem trikotniku z očrtano krožnico.[1]
Za dan enakostranični trikotnik in poljubno točko na očrtani krožnici je razdalja od točke do najbolj oddaljenega oglišča trikotnika enaka vsoti razdalj od točke do obeh najbližjih oglišč.
- Dokaz
Sledi neposredno iz Ptolemajevega izreka:
Kvadrat
Vsakemu kvadratu lahko očrtamo krožnico. Njeno središče je tudi baricenter kvadrata. Če je dolžina stranice kvadrata enaka , je dolžina obeh diagonal po Pitagorovem izreku enaka , tako da zveza očitno velja:
Pravokotnik
Če je štirikotnik pravokotnik z dolžinama stranic a in b ter diagonale d, se Ptolemajev izrek prevede v Pitagorov izrek. V tem primeru je središče očrtane krožnice enako presečišču diagonal. Ptolemajev izrek ima obliko:
Kopernik, ki je v svojem delu iz trigonometrije veliko rabil Ptolemajev izrek, ga navaja kot 'porizem', oziroma kot očitno posledico:
- Naprej je jasno (manifestum est), da lahko za dano tetivo čez lok določimo tudi tetivo čez preostanek polkrožnice.
O kroženjih nebesnih krogel: stran 37. Glej zadnji dve vrstici te strani.
Kopernik ga niti ne imenuje »Ptolemajev izrek«, amprak preprosto kot »Theorema Secundum«.
Pravilni petkotnik

Drug primer povezuje dolžino stranice pravilnega petkotnika a in dolžino tetiv očrtane krožnice (diagonal petkotnika) b, kjer ima Ptolemajev izrek obliko:
kar da število zlatega reza:
Remove ads
Glej tudi
- Caseyjev izrek
Sklici
Viri
Zunanje povezave
Wikiwand - on
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Remove ads