Trigonometrija

Beseda trigonometríja izhaja iz grških besed trigonon - trikotnik + metria - merjenje. Ta veja matematike se je razvila iz preučevanja trikotnika in odnosov med njegovimi stranicami in koti. K razvoju trigonometrije sta veliko pripomogla astronomija in delitev kroga na 360°. Pri Egipčanih je razvoj trigonometrije potekal vzporedno z gradnjo piramid.

V sredini 15. stoletja je nemški astronom in matematik Regiomontan objavil vse dotedanje znanje trigonometrije, kar je vplivalo na razvoj te veje po vsej Evropi. Razvoj trigonometrije je povezan s tehničnim razvojem.

Osnova trigonometrije so kotne ali trigonometrične funkcije.

Osnovni problem trigonometrije je razreševanje trikotnika - to pomeni računanje velikosti kotov in dolžin daljic (stranic, višin, težiščnic ipd.) v trikotniku. Najpomembnejša pravila, ki jih pri tem uporabljamo v evklidski geometriji, so:

• izrek o vsoti notranjih kotov trikotnika:

${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }\!\,}$

• sinusni izrek:

${\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}\!\,}$

• kosinusni izrek

${\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha \!\,}$

${\displaystyle b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta \!\,}$

${\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \!\,}$

Trigonometrična razmerja

Glavni članek: Trigonometrična funkcija.

V tem pravokotnem trikotniku: sin A = a/c; cos A = b/c; tan A = a/b.

Trigonometrična razmerja so razmerja med robovi pravokotnega trikotnika. Ta razmerja so podana z naslednjimi trigonometričnimi funkcijami znanega kota A, kjer se a, b in c nanašajo na dolžine stranic na priloženi sliki:

• Sinusna funkcija (sin) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in hipotenuzo.

${\displaystyle \sin A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {a}{c}}.}$

• Kosinusna funkcija (cos) je definirana kot razmerje med kotu priležno kateto in hipotenuzo.

${\displaystyle \cos A={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {hipotenuza}}}={\frac {b}{c}}.}$

• Tangentna funkcija (tan) je definirana kot razmerje med kotu nasprotno kateto in kotu priležno kateto.

${\displaystyle \tan A={\frac {\textrm {nasprotnakateta}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {a}{b}}={\frac {a/c}{b/c}}={\frac {\sin A}{\cos A}}.}$

Recipročne vrednosti teh funkcij se imenujejo kosekans (csc), sekans (sec) in kotangens (cot):

${\displaystyle \csc A={\frac {1}{\sin A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {c}{a}},}$

${\displaystyle \sec A={\frac {1}{\cos A}}={\frac {\textrm {hipotenuza}}{\textrm {prileznakateta}}}={\frac {c}{b}},}$

${\displaystyle \cot A={\frac {1}{\tan A}}={\frac {\textrm {prileznakateta}}{\textrm {nasprotnakateta}}}={\frac {\cos A}{\sin A}}={\frac {b}{a}}.}$

Enotski krog in trigonometrične vrednosti

Slika 1a – Sinus in kosinus kota θ določena z enotsko krožnico.

Trigonometrična razmerja je mogoče predstaviti tudi z uporabo enotskega kroga, ki ima središče v izhodišču koordinatnega sistema in polmer 1.^[1] Od pozitivnega poltraka abscisne osi odmerimo premični poltrak kota A. Točko, kjer premični poltrak seka kotomerno krožnico, označimo s točko (x,y), kjer ${\displaystyle x=\cos A}$ in ${\displaystyle y=\sin A}$.^[1] Ta predstavitev omogoča izračun trigonometričnih vrednosti, kot so na primer te v spodnji tabeli ^[2]

Funkcija	0	${\displaystyle \pi /6}$	${\displaystyle \pi /4}$	${\displaystyle \pi /3}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle 2\pi /3}$	${\displaystyle 3\pi /4}$	${\displaystyle 5\pi /6}$	${\displaystyle \pi }$
sinus	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$
kosinus	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle 1/2}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -1/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}/2}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/2}$	${\displaystyle -1}$
tangens	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	nedefinirano	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$
sekans	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nedefinirano	${\displaystyle -2}$	${\displaystyle -{\sqrt {2}}}$	${\displaystyle -2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$
kosekans	nedefinirano	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 2{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle {\sqrt {2}}}$	${\displaystyle 2}$	nedefinirano
kotangens	nedefinirano	${\displaystyle {\sqrt {3}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}/3}$	${\displaystyle -1}$	${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$	nedefinirano

Trigonometrične funkcije realnih ali kompleksnih spremenljivk

Z uporabo enotskega kroga lahko razširimo definicije trigonometričnih razmerij na vse pozitivne in negativne argumente^[3] (glej trigonometrična funkcija).

Grafi trigonometričnih funkcij

Naslednja tabela povzema lastnosti grafov šestih glavnih trigonometričnih funkcij:^[4][5]

Funkcija	Obdobje	domena	Razpon	Graf
sinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
kosinus	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$	${\displaystyle [-1,1]}$
tangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$
sekans	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq \pi /2+n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
kosekans	${\displaystyle 2\pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,-1]\cup [1,\infty )}$
kotangens	${\displaystyle \pi }$	${\displaystyle x\neq n\pi }$	${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Inverzne trigonometrične funkcije

Glavni članek: Krožna funkcija.

Ker je šest glavnih trigonometričnih funkcij periodičnih, niso injektivne in zato niso inverzibilne. Z omejevanjem definicijskega območja trigonometrične funkcije, lahko postanejo inverzibilne.^{[6] :48ff}

Imena inverznih trigonometričnih funkcij, skupaj z njihovimi domenami in obsegom, najdete v naslednji tabeli:^{[7]:48ff[8]:521ff}

Ime	Običajni zapis	Definicija	Definicijsko območje x za realni rezultat	Razpon glavne vrednosti (radiani)	Razpon glavne vrednosti (stopinje)
Arkus sinus	y = arcsin(x)	x = sin(y)	−1 ≤ x ≤ 1	−⁠π/2⁠ ≤ y ≤⁠π/2⁠	−90° ≤ y ≤ 90°
Arkus kosinus	y = arccos(x)	x = cos(y)	−1 ≤ x ≤ 1	0 ≤ y ≤ π	0° ≤ y ≤ 180°
Arkus tangens	y = arctan(x)	x = tan(y)	vsa realna števila	−⁠π/2⁠ < y <⁠π/2⁠	−90° < y < 90°
Arkus kotangens	y = arccot(x)	x = cot(y)	vsa realna števila	0 < y < π	0° < y < 180°
Arkus sekans	y = arcsec(x)	x = sec(y)	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	0 ≤ y <⁠π/2⁠ oz⁠π/2⁠ < y ≤ π	0° ≤ y < 90° ali 90° < y ≤ 180°
Arkus kosekans	y = arccsc(x)	x = csc(y)	x ≤ −1 ali 1 ≤ x	−⁠π/2⁠ ≤ y < 0 ali 0 < y ≤⁠π/2⁠	−90° ≤ y < 0° ali 0° < y ≤ 90°