Seznam grup sferne simetrije

Seznam grup sferne simetrije vsebuje grupe sferne simetrije. Te grupe se imenujejo tudi trirazsežna točkovna grupa. Tukaj se obravnavanje omeji samo na končne simetrije.

Znanih je pet osnovnih razredov, ki vsebujejo trikotno osnovno domeno. To so diedrska, ciklična, tetraedrska, oktaedrska in ikozaedrska simetrija.

Grupe so prikazane v skladu z Schönfliesovo notacijo, Coxeterjevo notacijo in notacijo orbifold. Angleški matematik John Horton Conway je uporabil posebno variacijo Schönfliesove notacije.

Dana je tudi Hermann-Mauguinova notacija (mednarodna notacija, tukaj označena z Medn.). Kristalografske grupe, ki jih je 32, so podmnožica z redom elementov enakim 2, 3, 4 ali 6 ^[1].

Involucijska simetrija

Znane so štiri involucijske grupe. Te grupe so primeri kjer ni simetrije, zrcalne simetrije, 2-kratna simetrije vrtenja in centralne točkovne simetrije.

Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 1 1 1 C1 C1 [ ]+ 1 2 2 22 D1 = C2 D2 = C2 [2]+ 2

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 1 22 × Ci = S2 CC2 [2+,2+] 2 2 = m 1 * Cs = C1v = C1h ±C1 = CD2 [ ] 2

Ciklična simetrija

Obstajajo štiri družine ciklične simetrije, ki imajo n=2 ali višje. V posebnem primeru je lahko tudi n=1.

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 2 2 22 C2 = D1 C2 = D2 [2]+ 2 mm2 2 *22 C2v = D1h CD4 = DD4 [2] 4 4 42 2× S4 CC4 [2+,4+] 4 2/m 22 2* C2h = D1d ±C2 = ±D2 [2,2+] 4

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 3 4 5 6 n 3 4 5 6 n 33 44 55 66 nn C3 C4 C5 C6 Cn C3 C4 C5 C6 Cn [3]+ [4]+ [5]+ [6]+ [n]+ 3 4 5 6 n 3m 4mm 5m 6mm - 3 4 5 6 n *33 *44 *55 *66 *nn C3v C4v C5v C6v Cnv CD6 CD8 CD10 CD12 CD2n [3] [4] [5] [6] [n] 6 8 10 12 2n 3 8 5 12 - 62 82 10.2 12.2 2n2 3× 4× 5× 6× n× S6 S8 S10 S12 S2n ±C3 CC8 ±C5 CC12 CC2n / ±Cn [2+,6+] [2+,8+] [2+,10+] [2+,12+] [2+,2n+] 6 8 10 12 2n 3/m 4/m 5/m 6/m n/m 32 42 52 62 n2 3* 4* 5* 6* n* C3h C4h C5h C6h Cnh CC6 ±C4 CC10 ±C6 ±Cn / CC2n [2,3+] [2,4+] [2,5+] [2,6+] [2,n+] 6 8 10 12 2n

Diedrska simetrija

Obstajajo samo tri družine neskončnih diedrskih simetrij.

Medn. geo[2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 222 2.2 222 D2 D4 [2,2]+ 4 42m 42 2*2 D2d DD8 [2+,4] 8 mmm 22 *222 D2h ±D4 [2,2] 8

Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 32 422 52 622 3.2 4.2 5.2 6.2 n.2 223 224 225 226 22n D3 D4 D5 D6 Dn D6 D8 D10 D12 D2n [2,3]+ [2,4]+ [2,5]+ [2,6]+ [2,n]+ 6 8 10 12 2n 3m 82m 5m 12.2m 62 82 10.2 12.2 n2 2*3 2*4 2*5 2*6 2*n D3d D4d D5d D6d Dnd ±D6 DD16 ±D10 DD24 DD4n / ±D2n [2+,6] [2+,8] [2+,10] [2+,12] [2+,2n] 12 16 20 24 4n 6m2 4/mmm 10m2 6/mmm 32 42 52 62 n2 *223 *224 *225 *226 *22n D3h D4h D5h D6h Dnh DD12 ±D8 DD20 ±D12 ±D2n / DD4n [2,3] [2,4] [2,5] [2,6] [2,n] 12 16 20 24 4n

Poliedrska simetrija

Znani so trije tipi poliedrske simetrije. To so tetraedrska, oktaedrska in ikozaedrska simetrija. Imena so simetrije dobile z uporabo pravilnih poliedrov s takšno vrsto simetrije.

[3,3] Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 23 3.3 332 T T [3,3]+ = [3+,4,1+] 12 m3 43 3*2 Th ±T [3+,4] = [[3,3]+] 24 43m 33 *332 Td TO [3,3] = [3,4,1+] 24

[3,4] Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 432 4.3 432 O O [3,4]+ = [[3,3]]+ 24 m3m 43 *432 Oh ±O [3,4] = [[3,3]] 48 [3,5] Medn. geo [2] orbifold Schönflies Conway Coxeter red osnovna domena 532 5.3 532 I I [3,5]+ 60 532/m 53 *532 Ih ±I [3,5] 120