Torus

Tórus (ali svítek) je rotacijska ploskev, ki nastane z vrtenjem krožnice okrog osi, ki je koplanarna s krožnico. V večini primerov predpostavljamo, da se os ne dotika krožnice. Telo, ki pri tem nastane, se imenuje tóroid.

Torus

Ko se razdalja do osi vrtenja manjša, krožni torus postane vretenasti torus, ki pa se nazadnje izrodi v sfero.

»Svitek« se preusmerja sem. Za druge pomene glej Svitek (razločitev).

Rod torusa je enak 1.

Torus je zmnožek dveh krožnic. V prikazanem primeru se zavrti se rdeča krožnica zavrti okoli osi, ki jo določa vijoličn akrožnica. R je polmer vijolične krožnice, r je polmer rdeče krožnice.

Krožni torus

Rogati torus

Vretenasti torus

Spodnje polovice treh vrst torusov

Geometrija

Torus lahko definiramo v parametrični obliki ^[1]

${\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}$

${\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}$

${\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}$

kjer je

• ${\displaystyle u,v\,}$ parametra (v intervalu ${\displaystyle [0,2\pi )\,}$)
• ${\displaystyle R\,}$ razdalja od središča cevi torusa do središča torusa
• ${\displaystyle r\,}$ polmer cevi torusa

Razdalji ${\displaystyle R\,}$ in ${\displaystyle r\,}$ imenujemo tudi "veliki polmer" in "mali polmer".

Implicitna oblika enačbe torusa v kartezičnem koordinatnem sistemu za torus, ki je radialno simetričen na z-os je

${\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2},\,\!}$

ali v drugačni obliki, če je ${\displaystyle f(x,y,z)=0\,}$:

${\displaystyle f(x,y,z)=\left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}-r^{2}\,}$.

Če odstranimo kvadratni koren, dobimo enačbo četrte stopnje

${\displaystyle (x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2})^{2}=4R^{2}(x^{2}+y^{2}).\,\!}$.

Površina in prostornina torusa

Površina torusa je enaka

${\displaystyle P=4\pi ^{2}Rr=\left(2\pi r\right)\left(2\pi R\right)\,}$

Prostornina pa je

${\displaystyle V=2\pi ^{2}Rr^{2}=\left(\pi r^{2}\right)\left(2\pi R\right)\,}$.

Topologija

Topološko je torus zaprta ploskev, ki je zmnožek dveh krožnic S¹ × S¹. Takšen topološki torus se imenuje tudi Cliffordov torus.

n-kratni torusi

dvojni torus

trojni torus

V teoriji ploskev ima izraz n-torus drugačen pomen. Namesto, da bi to pomenilo zmnožek n krožnic, to pomeni povezano vsoto n dvorazsežnih torusov.

Običajni torus je na ta način 1-torus, 2-torus imenujemo dvojni torus, 3-torus je trojni torus in tako dalje. Vedno pa lahko rečemo, da je n-torus orientabilna ploskev

Toroidni poliedri

Glavni članek: Toroidni poliedri.

Poliedri s topološkim tipom torusa se imenujejo toroidni poliedri.

Večrazsežni torusi

Torus lahko posplošimo na večje število razsežnosti. Na ta način dobimo n-razsežne toruse. Običajni torus je zmnožek prostorov dveh krožnic. N-razsežni torus (imenujemo ga tudi n-torus) pa je zmnožek ${\displaystyle n\,}$ krožnic, kar lahko zapišemo kot

${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\underbrace {S^{1}\times S^{1}\times \cdots \times S^{1}} _{n}\,}$.

Torus, ki smo ga opisali zgoraj, je dvorazsežni torus, enorazsežni torus je kar krožnica.

Glej tudi

• algebrski torus
• Cliffordov torus
• kompleksni torus
• Dupinova ciklida
• eliptična krivulja
• odsek torusa