Инверзне тригонометријске функције

Инверзне тригонометријске функције су x (аркус синус икс), x (аркус косинус), x (аркус тангенс), x (аркус котангенс).^{[1][2][3][4][5]} Оне су инверзне тригонометријским функцијама x (синус икс), x (косинус), x (тангенс), x (котангенс).^[6][7][8][9] Префикс аркус им долази од латинске речи - лук, угао. Називају се и циклометријске функције. У неким земљама пишу их на уобичајен, општи начин за инверзне функције: ^-1x, ^-1x, ^-1x, ^-1x.^[10][11]

Поред ових постоје и инверзне тригонометријске функције аркус секанс ( x) и аркус косеканс ( x). Оне су инверзне тригонометријским функцијама секанс ( x) и косеканс ( x), које се мало ређе употребљавају. Њихове особине су детаљије описане уз појам: Равнинска тригонометрија.

Нотација

Постоји неколико записа за инверзне тригонометријске функције. Најчешћа конвенција је да се инверзне тригонометријске функције именују помоћу префикса : arcsin(x), arccos(x), arctan(x), etc.^[10][6] (Ова конвенција се користи у целом овом чланку.) Ова ознака произлази из следећих геометријских односа: при мерењу у радијанима, угао од θ радијана ће одговарати луку чија је дужина , где је полупречник круга. Тако је у јединичном кругу „лук чији је косинус x「 исти као „угао чији косинус је x「, јер је дужина лука круга у радијусима иста као и мерење угла у радијанима.^[12] У програмским језицима за рачунаре, инверзне тригонометријске функције често се називају скраћеним облицима .^[13]

Ознаке sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), tan⁻¹(x), etc, које је увео Џон Хершел 1813. године,^[14][15] често се користе и у изворима на енглеском језику^[6] - конвенције конзистентне са записом инверзне функције. Ово би могло изгледати логички у супротности са уобичајеном семантиком израза као што је sin²(x), који се односе на нумеричку моћ, а не на састав функције, те стога може довести до забуне између мултипликативне инверзне или реципрочне и композиционо инверзне.^[16] Забуну донекле ублажава чињеница да свака од реципрочних тригонометријских функција има своје име - на пример, (cos(x))⁻¹ = sec(x). Ипак, неки аутори не саветују да се користи због њене двосмислености.^[6][17] Још једна конвенција коју користи неколико аутора је да се користи велико прво слово, заједно са ⁻¹ суперскриптом: Sin⁻¹(x), Cos⁻¹(x), Tan⁻¹(x), etc.^[18] Ово потенцијално избегава забуну са мултипликативном инверзијом, која би требало да буде представљена са sin⁻¹(x), cos⁻¹(x), etc.

Од 2009. године стандард наводи само префикс „arc」 за инверзне функције.

Основни концепти

Главне вредности

Тригонометријске функција нису узајамно инјективне, и стога се морају ограничити да би имале инверзне функције. Према томе, распони резултата инверзних функција су прави подскупови домена изворних функција.

На пример, коришћење функције у смислу вишезначних функција, баш као што би се могла дефинисати функција квадратног корена ${\displaystyle y={\sqrt {x}}}$ од ${\displaystyle y^{2}=x,}$, функција ${\displaystyle y=\arcsin(x)}$ је дефинисанa тако да је ${\displaystyle \sin(y)=x.}$ За дати реални број ${\displaystyle x,}$ са ${\displaystyle -1\leq x\leq 1,}$ постоји више (заправо, пребројива бесконачност) бројева ${\displaystyle y}$ таквих да је ${\displaystyle \sin(y)=x}$; на пример, ${\displaystyle \sin(0)=0,}$ али је и ${\displaystyle \sin(\pi )=0,}$ ${\displaystyle \sin(2\pi )=0,}$ итд. Када се жели само једна вредност, функција може бити ограничена на њену главну грану. Са овим ограничењем, за свако ${\displaystyle x}$ у домену, израз ${\displaystyle \arcsin(x)}$ ће се проценити само на једну вредност, која се назива његова главна вредност. Ова својства се примењују на све инверзне тригонометријске функције.

Главне инверзне вредности су наведене у следећој табели.

Назив	Уобичајена ознака	Дефиниција	Домен од ${\displaystyle x}$ за реалан резултат	Опсег уобичајене главне вредности (radians)	Опсег уобичајене главне вредности (степени)
arcsine	${\displaystyle y=\arcsin(x)}$	x = sin(y)	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y\leq 90^{\circ }}$
arccosine	${\displaystyle y=\arccos(x)}$	x = cos(y)	${\displaystyle -1\leq x\leq 1}$	${\displaystyle 0\leq y\leq \pi }$	${\displaystyle 0^{\circ }\leq y\leq 180^{\circ }}$
arctangent	${\displaystyle y=\arctan(x)}$	x = tan(y)	сви реални бројеви	x = csc(y)	${\displaystyle x\leq -1{\text{ or }}x\geq 1}$	${\displaystyle \frac {\pi }{2}}\leq y<0{\text{ or }}0<y\leq {\frac {\pi }{2}}}$	${\displaystyle -90^{\circ }\leq y<0^{\circ }{\text{ or }}0^{\circ }<y\leq 90^{\circ }}$

(Напомена: Неки аутори дефинишу опсег arcsecant да је (${\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}\pi \leq y<{\frac {3\pi }{2}}}$), јер је тангентна функција на овом домену неонегативна. Ово чини неке прорачуне доследнијим. На пример, користећи овај опсег, ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))={\sqrt {x^{21}},}$ док је у опсегу (${\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}}{\text{ or }}{\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi }$), се записује као ${\displaystyle \tan(\operatorname {arcsec}(x))=\pm {\sqrt {x^{21}},}$ јер је тангента ненегативна на ${\displaystyle 0\leq y<{\frac {\pi }{2}},}$ али непозитивна на ${\displaystyle {\frac {\pi }{2}}<y\leq \pi .}$ Из слично разлога, исти аутори дефинишу опсег функције arccosecant као ${\displaystyle -\pi <y\leq -{\frac {\pi }{2}}}$ или ${\displaystyle 0<y\leq {\frac {\pi }{2}}.}$)

Ако је ${\displaystyle x}$ комплексан број, онда је опсег ${\displaystyle y}$ применљив само на њен реални део.