Крамерово правило

Крамерово правило је теорема у линеарној алгебри, која даје решење система линеарних једначина помоћу детерминанти. Добила је име по Габријелу Крамеру (1704—1752).

Рачунски, ради се о неефикасном поступку, и стога се не користи у пракси у случајевима када је број једначина у систему велики. Међутим, ово правило је од теоријског значаја јер даје експлицитни израз за решење система.

Елементарна формулација

Систем једначина представљен у форми множења матрица као:

${\displaystyle Ax=c\,}$

где је квадратна матрица ${\displaystyle A}$ инвертибилна а вектор ${\displaystyle x}$ је вектор колоне променљивих: ${\displaystyle (x_{i})}$.

Теорема онда тврди да:

${\displaystyle x_{i}={\det(A_{i}) \over \det(A)}}$

${\displaystyle (1)\,}$

где је ${\displaystyle A_{i}}$ матрица која се добија заменом -те колоне из ${\displaystyle A}$ вектором колоне ${\displaystyle c}$. Ради једноставности, понекад се користи само један симбол као што је ${\displaystyle \Delta }$ да представи ${\displaystyle \det(A)}$ а нотација ${\displaystyle \Delta _{i}}$ се користи да представи ${\displaystyle \det(A_{i})}$. Стога се једначина (1) може компактније записати као

${\displaystyle x_{i}={\Delta _{i} \over \Delta }\,}$

Апстрактна формулација

Нека је комутативни прстен, а матрица са коефицијентима из . Онда

${\displaystyle \mathrm {Adj} (A)A=\mathrm {det} (A)I\,}$

где означава адјунговану матрицу матрице је детерминанта, а је јединична матрица.

Пример

Добар начин да се Крамерово правило искористи за матрице димензије 2×2 је помоћу следеће формуле:

${\displaystyle ax+by={\color {red}e}\,}$ и

${\displaystyle cx+dy={\color {red}f}\,}$,

што се може записати у матричном облику

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}}$

и се могу наћи Крамеровим правилом:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}$

и

${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}={a{\color {red}f}\color {red}e}c \over ad-bc}}$

Правило за матрице димензије 3×3 је слично.

${\displaystyle ax+by+cz={\color {red}j}\,}$,

${\displaystyle dx+ey+fz={\color {red}k}\,}$ и

${\displaystyle gx+hy+iz={\color {red}l}\,}$,

што се може записати у матричном облику

${\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}$

, и се могу наћи на следећи начин:

${\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$,   ${\displaystyle y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$,   and   ${\displaystyle z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}}$

Примене у диференцијалној геометрији

Крамерово правило је врло корисно за решавање проблема у диференцијалној геометрији. Узмимо две једначине ${\displaystyle F(x,y,u,v)=0\,}$ и ${\displaystyle G(x,y,u,v)=0\,}$. Када су и независне променљиве, можемо да дефинишемо ${\displaystyle x=X(u,v)\,}$ и ${\displaystyle y=Y(u,v)\,}$.

Налажење једначине за ${\displaystyle \partial x/\partial u}$ је тривијално применом Крамеровог правила.

Прво израчунамо прве изводе за и .

${\displaystyle dF={\frac {\partial F}{\partial x}}dx+{\frac {\partial F}{\partial y}}dy+{\frac {\partial F}{\partial u}}du+{\frac {\partial F}{\partial v}}dv=0}$

${\displaystyle dG={\frac {\partial G}{\partial x}}dx+{\frac {\partial G}{\partial y}}dy+{\frac {\partial G}{\partial u}}du+{\frac {\partial G}{\partial v}}dv=0}$

${\displaystyle dx={\frac {\partial X}{\partial u}}du+{\frac {\partial X}{\partial v}}dv}$

${\displaystyle dy={\frac {\partial Y}{\partial u}}du+{\frac {\partial Y}{\partial v}}dv}$

Заменом и , добијамо:

${\displaystyle dF=\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial v}}\right)dv=0}$

${\displaystyle dG=\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial u}}\right)du+\left({\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial v}}\right)dv=0}$

Како су , обе независне, коефицијенти , морају бити једнаки нули. Тако да можемо да напишемо:

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial F}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial u}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial u}}=-{\frac {\partial G}{\partial u}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial F}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=-{\frac {\partial F}{\partial v}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial v}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial v}}=\frac {\partial G}{\partial v}}}$Прекорачена је граница дубине језичког претварача (10)\frac {\partial G}{\partial v}}}"/>

Сада, применом Крамеровог правила видимо да:

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}={\frac {\begin{vmatrix{\frac {\partial F}{\partial u}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\\frac {\partial G}{\partial u}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}{\frac {\partial F}{\partial x}}&{\frac {\partial F}{\partial y}}\\{\frac {\partial G}{\partial x}}&{\frac {\partial G}{\partial y}}\end{vmatrix}}}}$

Ово сада је формула у облику два јакобијана:

\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}"> ∂ x ∂ u = − ( ∂ ( F , G ) ∂ ( y , u ) ) ( ∂ ( F , G ) ∂ ( x , y ) ) {\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial u}}=-{\frac {\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(y,u\right)}}\right)}{\left({\frac {\partial \left(F,G\right)}{\partial \left(x,y\right)}}\right)}}}

Сличне формуле се могу извести за ${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial v}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial u}}}$, ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial v}}}$.

Примене у алгебри

Крамерово правило се може користити за доказивање Кејли-Хамилтонове теореме из линеарне алгебре, као и Накајамине леме, која је од основног значаја у теорији комутативних прстенова.

Спољашње везе