Кејли-Хамилтонова теорема

У линеарној алгебри, Кејли—Хамилтонова теорема (названа по математичарима Артуру Кејлију и Вилијаму Роуану Хамилтону) тврди да свака квадратна матрица над комутативним прстеном (као што су реални или комплексни бројеви или цели бројеви) задовољава своју карактеристичну једначину.

Артур Кејли, F.R.S. (1821–1895) сматра се водећим британским чистим математичарем 19. века. Кејли је 1848. отишао у Даблин да присуствује предавањима о кватернионима које је држао Хамилтон, њихов откривач. Касније га је Кејли импресионирао тиме што је био други који је објавио рад о њима.^[1] Кејли је формулисао теорему за матрице димензија 3 или мање, и објавио доказ за дводимензионални случај.

Вилијам Роуан Хамилтон (1805–1865), ирски физичар, астроном и математичар, први инострани члан америчке Националне академије наука. Иако је имао супротан став о томе како геометрија треба да се проучава, Хамилтон је увек остао у најбољим односима са Кејлијем.^[1]

Хамилтон је доказао да за линеарну функцију кватерниона постоји одређена једначина, која зависи од линеарне функције, а коју задовољава сама линеарна функција.^[2][3][4]

Карактеристични полином ${\displaystyle n\times n}$ матрице A дефинисан је као^[5] ${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$, где је det операција детерминанте, λ је променљива скаларног елемента базног прстена, а I_n је ${\displaystyle n\times n}$ јединична матрица. Пошто је сваки елемент матрице ${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$ или константа или линеаран по λ, детерминанта од ${\displaystyle (\lambda I_{n}-A)}$ је монични полином степена n по λ, па се може записати као $${\displaystyle p_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c_{1}\lambda +c_{0}.}$$ Заменом скаларне променљиве λ матрицом A, може се дефинисати аналогни матрични полином, $${\displaystyle p_{A}(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$ (Овде је ${\displaystyle A}$ дата матрица — није променљива, за разлику од ${\displaystyle \lambda }$ — тако да је ${\displaystyle p_{A}(A)}$ константа, а не функција.) Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је овај полиномијални израз једнак нула-матрици, што значи да је ${\displaystyle p_{A}(A)=0;}$ то јест, карактеристични полином ${\displaystyle p_{A}}$ је анулирајући полином за ${\displaystyle A.}$

Једна од употреба Кејли—Хамилтонове теореме је то што омогућава да се Aⁿ изрази као линеарна комбинација нижих степена матрице A: $${\displaystyle A^{n}=-c_{n-1}A^{n-1}-\cdots -c_{1}A-c_{0}I_{n}.}$$ Када је прстен поље, Кејли—Хамилтонова теорема је еквивалентна тврдњи да минимални полином квадратне матрице дели њен карактеристични полином.

Специјалан случај теореме први је доказао Хамилтон 1853. године^[6] у терминима инверза линеарних функција кватерниона.^[2][3][4] Ово одговара специјалном случају одређених ${\displaystyle 4\times 4}$ реалних или ${\displaystyle 2\times 2}$ комплексних матрица. Кејли је 1858. формулисао резултат за ${\displaystyle 3\times 3}$ и мање матрице, али је објавио доказ само за случај ${\displaystyle 2\times 2}$.^[7][8] Што се тиче ${\displaystyle n\times n}$ матрица, Кејли је изјавио: „..., нисам сматрао потребним да предузимам рад на формалном доказу теореме у општем случају матрице било ког степена」. Општи случај је први доказао Фердинанд Фробенијус 1878. године.^[9]

Примери

1 × 1 матрице

За ${\displaystyle 1\times 1}$ матрицу A = (a), карактеристични полином је дат са p(λ) = λ − a, па је p(A) = (a) − a(1) = 0 тривијално.

2 × 2 матрице

Као конкретан пример, нека је $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}.}$$ Њен карактеристични полином је дат са $${\displaystyle {\begin{aligned}p(\lambda )&=\det(\lambda I_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\&=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2.\end{aligned}}}$$

Кејли—Хамилтонова теорема тврди да, ако дефинишемо $${\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I_{2},}$$ онда је $${\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$ Рачунањем можемо проверити да заиста важи: $${\displaystyle A^{2}-5A-2I_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}.}$$

За општу ${\displaystyle 2\times 2}$ матрицу, $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}},}$$

карактеристични полином је дат са p(λ) = λ² − (a + d)λ + (ad − bc), па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је $${\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}};}$$

што је заиста увек случај, што је очигледно израчунавањем елемената A²....

Proof

$${\displaystyle {\begin{aligned}&{}A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I_{2}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\\\end{pmatrix}}\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}bc-ad&0\\0&bc-ad\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I_{2}\\[1ex]&={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$$

Примене

Детерминанта и инверзна матрица

Види још: Determinant § Relation to eigenvalues and trace и Characteristic polynomial § Properties

За општу ${\displaystyle n\times n}$ инверзибилну матрицу A, тј. ону са детерминантом различитом од нуле, A⁻¹ се може записати као полиномијални израз реда ${\displaystyle (n-1)}$ по A: Као што је назначено, Кејли—Хамилтонова теорема се своди на идентитет

${\displaystyle p(A)=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+(-1)^{n}\det(A)I_{n}=0.}$

Коефицијенти c_i су дати елементарним симетричним полиномима сопствених вредности матрице A. Користећи Њутнове идентитете, елементарни симетрични полиноми се заузврат могу изразити преко степених збирова симетричних полинома сопствених вредности: $${\displaystyle s_{k}=\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}^{k}=\operatorname {tr} (A^{k}),}$$ где је tr(A^k) траг матрице A^k. Дакле, можемо изразити c_i преко трага степена матрице A.

Уопштено, формула за коефицијенте c_i дата је преко комплетних експоненцијалних Белових полинома као^{[напомена 1]} $${\displaystyle c_{n-k}={\frac {(-1)^{k}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).}$$

Посебно, детерминанта од A је једнака (−1)ⁿc₀. Дакле, детерминанта се може записати као идентитет трага: $${\displaystyle \det(A)={\frac {1}{n!}}B_{n}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{n-1}(n-1)!s_{n}).}$$

Слично томе, карактеристични полином се може записати као $${\displaystyle -(-1)^{n}\det(A)I_{n}=A(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),}$$ и, множењем обе стране са A⁻¹ (приметимо да је −(−1)ⁿ = (−1)ⁿ⁻¹), долази се до израза за инверз матрице A као идентитет трага, $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {(-1)^{n-1}}{\det A}}(A^{n-1}+c_{n-1}A^{n-2}+\cdots +c_{1}I_{n}),\\[5pt]&={\frac {1}{\det A}}\sum _{k=0}^{n-1}(-1)^{n+k-1}{\frac {A^{n-k-1}}{k!}}B_{k}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3},\ldots ,(-1)^{k-1}(k-1)!s_{k}).\end{aligned}}}$$

Други метод за добијање ових коефицијената c_k за општу ${\displaystyle n\times n}$ матрицу, под условом да ниједан корен није нула, ослања се на следећи алтернативни израз за детерминанту, $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)=\lambda ^{n}\exp(\operatorname {tr} (\log(I_{n}-A/\lambda ))).}$$ Отуда, на основу Меркаторовог реда, $${\displaystyle p(\lambda )=\lambda ^{n}\exp \left(-\operatorname {tr} \sum _{m=1}^{\infty }{({A \over \lambda })^{m} \over m}\right),}$$ где експоненцијал треба развити само до реда λ⁻ⁿ, пошто је p(λ) реда n, а нето негативни степени од λ аутоматски нестају према К—Х теореми. (Опет, ово захтева прстен који садржи рационалне бројеве.) Диференцирање овог израза по λ омогућава да се коефицијенти карактеристичног полинома за опште n изразе као детерминанте m × m матрица,^{[напомена 2]} $${\displaystyle c_{n-m}={\frac {(-1)^{m}}{m!}}{\begin{vmatrix}\operatorname {tr} A&m-1&0&\cdots \\\operatorname {tr} A^{2}&\operatorname {tr} A&m-2&\cdots \\\vdots &\vdots &&&\vdots \\\operatorname {tr} A^{m-1}&\operatorname {tr} A^{m-2}&\cdots &\cdots &1\\\operatorname {tr} A^{m}&\operatorname {tr} A^{m-1}&\cdots &\cdots &\operatorname {tr} A\end{vmatrix}}~.}$$

Примери

На пример, првих неколико Белових полинома су B₀ = 1, B₁(x₁) = x₁, B₂(x₁, x₂) = x2
1 + x₂, и B₃(x₁, x₂, x₃) = x3
1 + 3 x₁x₂ + x₃.

Коришћењем ових за одређивање коефицијената c_i карактеристичног полинома ${\displaystyle 2\times 2}$ матрице добија се

$${\displaystyle {\begin{aligned}c_{2}=B_{0}=1,\\[4pt]c_{1}={\frac {-1}{1!}}B_{1}(s_{1})=-s_{1}=-\operatorname {tr} (A),\\[4pt]c_{0}={\frac {1}{2!}}B_{2}(s_{1},-1!s_{2})={\frac {1}{2}}(s_{1}^{2}-s_{2})={\frac {1}{2}}((\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})).\end{aligned}}}$$

Коефицијент c₀ даје детерминанту ${\displaystyle 2\times 2}$ матрице, c₁ минус њен траг, док је њен инверз дат са $${\displaystyle A^{-1}={\frac {-1}{\det A}}(A+c_{1}I_{2})={\frac {-2(A-\operatorname {tr} (A)I_{2})}{(\operatorname {tr} (A))^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})}}.}$$

Очигледно је из опште формуле за c_n−k, изражене преко Белових полинома, да изрази $${\displaystyle -\operatorname {tr} (A)\quad {\text{и}}\quad {\tfrac {1}{2}}(\operatorname {tr} (A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2}))}$$

увек дају коефицијенте c_n−1 уз λⁿ⁻¹ и c_n−2 уз λⁿ⁻² у карактеристичном полиному било које ${\displaystyle n\times n}$ матрице, редом. Дакле, за ${\displaystyle 3\times 3}$ матрицу A, исказ Кејли—Хамилтонове теореме се такође може записати као $${\displaystyle A^{3}-(\operatorname {tr} A)A^{2}+{\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right)A-\det(A)I_{3}=O,}$$ где десна страна означава ${\displaystyle 3\times 3}$ матрицу са свим елементима једнаким нули. Слично томе, ова детерминанта у случају n = 3, је сада $${\displaystyle {\begin{aligned}\det(A)&={\frac {1}{3!}}B_{3}(s_{1},-1!s_{2},2!s_{3})={\frac {1}{6}}(s_{1}^{3}+3s_{1}(-s_{2})+2s_{3})\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{3}-3\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right].\end{aligned}}}$$ Овај израз даје негативну вредност коефицијента c_n−3 уз λⁿ⁻³ у општем случају, као што се види испод.

Слично томе, може се записати за ${\displaystyle 4\times 4}$ матрицу A, $${\displaystyle A^{4}-(\operatorname {tr} A)A^{3}+{\tfrac {1}{2}}\left[(\operatorname {tr} A)^{2}-\operatorname {tr} (A^{2})\right]A^{2}\tfrac {1}{6}}\left[(\operatorname {tr} A)^{33\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)+2\operatorname {tr} (A^{3})\right]A+\det(A)I_{4}=O,}$$

где је сада детерминанта c_n−4,

$${\displaystyle {\tfrac {1}{24}}\!\left[(\operatorname {tr} A)^{4}-6\operatorname {tr} (A^{2})(\operatorname {tr} A)^{2}+3\left(\operatorname {tr} (A^{2})\right)^{2}+8\operatorname {tr} (A^{3})\operatorname {tr} (A)-6\operatorname {tr} (A^{4})\right],}$$

и тако даље за веће матрице. Све сложенији изрази за коефицијенте c_k могу се извести из Њутнових идентитета или Фадев—Леверијеовог алгоритма.

n-ти степен матрице

Кејли—Хамилтонова теорема увек пружа везу између степена матрице A (иако не увек најједноставнију), која омогућава поједностављење израза који укључују такве степене, и њихово израчунавање без потребе за рачунањем степена Aⁿ или било којих виших степена од A.

Као пример, за ${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}$ теорема даје $${\displaystyle A^{2}=5A+2I_{2}\,.}$$... Тада, за израчунавање A⁴, приметимо $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{3}&=(5A+2I_{2})A=5A^{2}+2A=5(5A+2I_{2})+2A=27A+10I_{2},\\[1ex]A^{4}&=A^{3}A=(27A+10I_{2})A=27A^{2}+10A=27(5A+2I_{2})+10A=145A+54I_{2}\,.\end{aligned}}}$$ Слично томе, $${\displaystyle {\begin{aligned}A^{-1}&={\frac {1}{2}}\left(A-5I_{2}\right)~.\\[1ex]A^{-2}&=A^{-1}A^{-1}={\frac {1}{4}}\left(A^{2}-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left((5A+2I_{2})-10A+25I_{2}\right)={\frac {1}{4}}\left(-5A+27I_{2}\right)~.\end{aligned}}}$$

Приметимо да смо успели да запишемо степен матрице као збир два члана. Заправо, степен матрице било ког реда k може се записати као матрични полином степена највише n − 1, где је n величина квадратне матрице. Ово је пример где се Кејли—Хамилтонова теорема може користити за изражавање матричне функције, о чему ћемо систематично расправљати у наставку.

Матричне функције

Дата је аналитичка функција $${\displaystyle f(x)=\sum _{k=0}^{\infty }a_{k}x^{k}}$$ и карактеристични полином p(x) степена n матрице A димензија n × n, функција се може изразити коришћењем дељења полинома као $${\displaystyle f(x)=q(x)p(x)+r(x),}$$ где је q(x) неки полином количника, а r(x) полином остатка такав да је 0 ≤ deg r(x) < n.

Према Кејли—Хамилтоновој теореми, заменом x матрицом A добија се p(A) = 0, па имамо $${\displaystyle f(A)=r(A).}$$

Дакле, аналитичка функција матрице A може се изразити као матрични полином степена мањег од n.

Нека је полином остатка $${\displaystyle r(x)=c_{0}+c_{1}x+\cdots +c_{n-1}x^{n-1}.}$$ Пошто је p(λ) = 0, израчунавање функције f(x) у n сопствених вредности матрице A даје $${\displaystyle f(\lambda _{i})=r(\lambda _{i})=c_{0}+c_{1}\lambda _{i}+\cdots +c_{n-1}\lambda _{i}^{n-1},\qquad {\text{за }}i=1,2,...,n.}$$ Ово се своди на систем од n линеарних једначина, који се може решити ради одређивања коефицијената c_i. Дакле, имамо $${\displaystyle f(A)=\sum _{k=0}^{n-1}c_{k}A^{k}.}$$

Када се сопствене вредности понављају, односно λ_i = λ_j за неко i ≠ j, две или више једначина су идентичне; па се линеарне једначине не могу јединствено решити. За такве случајеве, за сопствену вредност λ вишеструкости m, првих m − 1 извода од p(x) нестаје у сопственој вредности. Ово доводи до додатних m − 1 линеарно независних решења $${\displaystyle \left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}f(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }=\left.{\frac {\mathrm {d} ^{k}r(x)}{\mathrm {d} x^{k}}}\right|_{x=\lambda }\qquad {\text{за }}k=1,2,\ldots ,m-1,}$$ која, комбинована са осталима, дају потребних n једначина за решавање по c_i.

Проналажење полинома који пролази кроз тачке (λ_i,  f (λ_i)) је суштински проблем интерполације, и може се решити коришћењем техника Лагранжове или Њутнове интерполације, што води до Силвестерове формуле.

На пример, претпоставимо да је задатак пронаћи полиномијалну репрезентацију за ${\displaystyle f(A)=e^{At}}$ где је $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}.}$$

Карактеристични полином је p(x) = (x − 1)(x − 3) = x² − 4x + 3, а сопствене вредности су λ = 1, 3. Нека је r(x) = c₀ + c₁x. Израчунавањем f(λ) = r(λ) у сопственим вредностима, добијамо две линеарне једначине, e^t = c₀ + c₁ и e^3t = c₀ + 3c₁.

Решавање једначина даје c₀ = (3e^t − e^3t)/2 и c₁ = (e^3t − e^t)/2. Дакле, следи да је $${\displaystyle e^{At}=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}c_{0}+c_{1}&2c_{1}\\0&c_{0}+3c_{1}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}e^{t}&e^{3t}-e^{t}\\0&e^{3t}\end{pmatrix}}.}$$

Ако би, уместо тога, функција била f(A) = sin At, онда би коефицијенти били c₀ = (3 sin t − sin 3t)/2 и c₁ = (sin 3t − sin t)/2; отуда $${\displaystyle \sin(At)=c_{0}I_{2}+c_{1}A={\begin{pmatrix}\sin t&\sin 3t-\sin t\\0&\sin 3t\end{pmatrix}}.}$$

Као даљи пример, када разматрамо ${\displaystyle f(A)=e^{At}}$ где је $${\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}},}$$ онда је карактеристични полином p(x) = x² + 1, а сопствене вредности су λ = ±i.... Као и раније, израчунавање функције у сопственим вредностима даје нам линеарне једначине e^{it} = c₀ + i c₁ и e^−it = c₀ − ic₁; чије решење даје, c₀ = (e^it + e^−it)/2 = cos t и c₁ = (e^it − e^−it)/2i = sin t. Дакле, за овај случај, $${\displaystyle e^{At}=(\cos t)I_{2}+(\sin t)A={\begin{pmatrix}\cos t&\sin t\\-\sin t&\cos t\end{pmatrix}},}$$ што је матрица ротације.

Стандардни примери такве употребе су експоненцијално пресликавање из Лијеве алгебре матричне Лијеве групе у групу. Дато је матричним експоненцијалом, $${\displaystyle \exp$$ :{\mathfrak {g}}\rightarrow G;\qquad tX\mapsto e^{tX}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {t^{n}X^{n}}{n!}}=I+tX+{\frac {t^{2}X^{2}}{2}}+\cdots ,t\in \mathbb {R} ,X\in {\mathfrak {g}}.} Такви изрази су дуго познати за SU(2), $${\displaystyle e^{i(\theta /2)({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )}=I_{2}\cos {\frac {\theta }{2}}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \sigma )\sin {\frac {\theta }{2}},}$$ где су σ Паулијеве матрице и за SO(3), $${\displaystyle e^{i\theta ({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )}=I_{3}+i({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )\sin \theta +({\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {J} )^{2}(\cos \theta -1),}$$ што је Родригезова формула ротације. За нотацију, погледати 3D rotation group#A note on Lie algebras.

Недавно су се појавили изрази за друге групе, попут Лоренцове групе SO(3, 1),^[10] O(4, 2)^[11] и SU(2, 2),^[12] као и GL(n, R).^[13] Група O(4, 2) је конформна група простор-времена, SU(2, 2) њен једноструко повезан омотач (да будемо прецизни, једноструко повезан омотач повезане компоненте SO⁺(4, 2) од O(4, 2)). Добијени изрази важе за стандардну репрезентацију ових група. Захтевају познавање (неких од) сопствених вредности матрице за експоненцирање. За SU(2) (и тиме за SO(3)), затворени изрази су добијени за све иредуцибилне репрезентације, тј. било ког спина.^[14]

Фердинанд Георг Фробенијус (1849–1917), немачки математичар. Његова главна интересовања била су елиптичке функције, диференцијалне једначине, и касније теорија група.
Он је 1878. дао први потпун доказ Кејли–Хамилтонове теореме.^[9]

Алгебарска теорија бројева

Кејли—Хамилтонова теорема је ефикасан алат за израчунавање минималног полинома алгебарских целих бројева. На пример, дато је коначно проширење ${\displaystyle \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ од ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ и алгебарски цео број ${\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]}$ који је не-нула линеарна комбинација ${\displaystyle \alpha _{1}^{n_{1}}\cdots \alpha _{k}^{n_{k}}}$ можемо израчунати минимални полином од ${\displaystyle \alpha }$ проналажењем матрице која представља ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-линеарно пресликавање $${\displaystyle \cdot \alpha$$ :\mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]\to \mathbb {Q} [\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k}]} Ако назовемо ову матрицу трансформације ${\displaystyle A}$, онда можемо пронаћи минимални полином применом Кејли—Хамилтонове теореме на ${\displaystyle A}$.^[15]

Докази

Кејли—Хамилтонова теорема је непосредна последица постојања Жорданове нормалне форме за матрице над алгебарски затвореним пољима, види Jordan normal form § Cayley–Hamilton theorem. У овом одељку су представљени директни докази.

Као што примери изнад показују, добијање исказа Кејли—Хамилтонове теореме за ${\displaystyle n\times n}$ матрицу

$${\displaystyle A=\left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^{n}}$$ захтева два корака: прво се коефицијенти c_i карактеристичног полинома одређују развојем детерминанте као полинома по t

$${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)&=\det(tI_{n}-A)={\begin{vmatrix}t-a_{1,1}&-a_{1,2}&\cdots &-a_{1,n}\\-a_{2,1}&t-a_{2,2}&\cdots &-a_{2,n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\-a_{n,1}&-a_{n,2}&\cdots &t-a_{n,n}\end{vmatrix}}\\[5pt]&=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0},\end{aligned}}}$$

а затим се ови коефицијенти користе у линеарној комбинацији степена матрице A која се изједначава са ${\displaystyle n\times n}$ нула-матрицом: $${\displaystyle A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}={\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$$

Лева страна се може развити у ${\displaystyle n\times n}$ матрицу чији су елементи (огромни) полиномијални изрази у скупу елемената a_i,j од A, па Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је сваки од ових n² израза једнак 0. За било коју фиксну вредност n, ови идентитети се могу добити заморним али праволинијским алгебарским манипулацијама. Ниједан од ових прорачуна, међутим, не може показати зашто би Кејли—Хамилтонова теорема требало да важи за матрице свих могућих димензија n, па је потребан униформан доказ за све n....

Прелиминарна разматрања

Ако је вектор v димензије n сопствени вектор од A са сопственом вредношћу λ, другим речима ако је A⋅v = λv, онда $${\displaystyle {\begin{aligned}p(A)\cdot v&=A^{n}\cdot v+c_{n-1}A^{n-1}\cdot v+\cdots +c_{1}A\cdot v+c_{0}I_{n}\cdot v\\[6pt]&=\lambda ^{n}v+c_{n-1}\lambda ^{n-1}v+\cdots +c_{1}\lambda v+c_{0}v=p(\lambda )v,\end{aligned}}}$$ што је нула-вектор пошто је p(λ) = 0 (сопствене вредности од A су управо нуле од p(t)). Ово важи за све могуће сопствене вредности λ, тако да две матрице изједначене теоремом сигурно дају исти (нула) резултат када се примене на било који сопствени вектор. Сада, ако A допушта базу сопствених вектора, другим речима ако је A дијагонализабилна, онда Кејли—Хамилтонова теорема мора важити за A, пошто две матрице које дају исте вредности када се примене на сваки елемент базе морају бити једнаке. $${\displaystyle A=XDX^{-1},\quad D=\operatorname {diag} (\lambda _{i}),\quad i=1,2,...,n}$$ $${\displaystyle p_{A}(\lambda )=|\lambda I-A|=\prod _{i=1}^{n}(\lambda -\lambda _{i})\equiv \sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda ^{k}}$$ $${\displaystyle p_{A}(A)=\sum c_{k}A^{k}=Xp_{A}(D)X^{-1}=XCX^{-1}}$$ $${\displaystyle C_{ii}=\sum _{k=0}^{n}c_{k}\lambda _{i}^{k}=\prod _{j=1}^{n}(\lambda _{i}-\lambda _{j})=0,\qquad C_{i,j\neq i}=0}$$ $${\displaystyle \therefore p_{A}(A)=XCX^{-1}=O.}$$

Размотримо сада функцију ${\displaystyle e\colon M_{n}\to M_{n}}$ која пресликава ${\displaystyle n\times n}$ матрице у ${\displaystyle n\times n}$ матрице дату формулом ${\displaystyle e(A)=p_{A}(A)}$, тј. која узима матрицу ${\displaystyle A}$ и убацује је у њен сопствени карактеристични полином. Нису све матрице дијагонализабилне, али за матрице са комплексним коефицијентима многе од њих јесу: скуп ${\displaystyle D}$ дијагонализабилних комплексних квадратних матрица дате величине је густ у скупу свих таквих квадратних матрица^[16] (да би матрица била дијагонализабилна довољно је на пример да њен карактеристични полином нема ниједну вишеструку нулу). Сада посматрано као функција ${\displaystyle e\colon \mathbb {C} ^{n^{2}}\to \mathbb {C} ^{n^{2}}}$ (пошто матрице имају ${\displaystyle n^{2}}$ елемената) видимо да је ова функција непрекидна. Ово је тачно јер су елементи слике матрице дати полиномима елемената матрице. Пошто је $${\displaystyle e(D)=\left\{{\begin{pmatrix}0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\vdots \\0&\cdots &0\end{pmatrix}}\right\}}$$

и пошто је скуп ${\displaystyle D}$ густ, због непрекидности ова функција мора пресликавати цео скуп ${\displaystyle n\times n}$ матрица у нула-матрицу. Стога је Кејли—Хамилтонова теорема тачна за комплексне бројеве, и стога мора важити и за ${\displaystyle \mathbb {Q} }$- или ${\displaystyle \mathbb {R} }$-вредносне матрице.

Иако ово пружа валидан доказ, аргумент није сасвим задовољавајући, јер идентитети представљени теоремом ни на који начин не зависе од природе матрице (дијагонализабилна или не), нити од врсте дозвољених елемената (за матрице са реалним елементима дијагонализабилне не чине густ скуп, и изгледа чудно да би се морале разматрати комплексне матрице да би се видело да Кејли—Хамилтонова теорема важи за њих). Стога ћемо сада разматрати само аргументе који доказују теорему директно за било коју матрицу користећи само алгебарске манипулације; оне такође имају предност што раде за матрице са елементима у било ком комутативном прстену.

Адјунгована матрица

Сви докази испод користе појам адјунговане матрице adj(M) ${\displaystyle n\times n}$ матрице M, што је транспонат њене кофакторске матрице. Ово је матрица чији су коефицијенти дати полиномијалним изразима коефицијената матрице M (заправо, одређеним ${\displaystyle (n-1)\times (n-1)}$ детерминантама), на такав начин да важе следеће фундаменталне релације, $${\displaystyle \operatorname {adj} (M)\cdot M=\det(M)I_{n}=M\cdot \operatorname {adj} (M)~.}$$ Ове релације су директна последица основних особина детерминанти.

Директан алгебарски доказ

Овај доказ користи управо ону врсту објеката потребних за формулисање Кејли—Хамилтонове теореме: матрице са полиномима као елементима. Матрица ${\displaystyle tI_{n}-A}$ чија детерминанта је карактеристични полином од A је таква матрица, и пошто полиноми чине комутативни прстен, она има адјунговану матрицу $${\displaystyle B=\operatorname {adj} (tI_{n}-A).}$$ Тада, према десној фундаменталној релацији адјунговане матрице, имамо $${\displaystyle (tI_{n}-A)B=\det(tI_{n}-A)I_{n}=p(t)I_{n}.}$$

Пошто је B такође матрица са полиномима по t као елементима, може се, за свако i, прикупити коефицијенте уз ${\displaystyle t^{i}}$ у сваком елементу да би се формирала матрица B_i бројева, тако да имамо $${\displaystyle B=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}.}$$ (Начин на који су дефинисани елементи матрице B јасно показује да се не јављају степени виши од tⁿ⁻¹). Иако ово изгледа као полином са матрицама као коефицијентима, нећемо разматрати такав појам; то је само начин да се запише матрица са полиномијалним елементима као линеарна комбинација n константних матрица, а коефицијент ${\displaystyle t^{i}}$ је записан лево од матрице да би се нагласила ова тачка гледишта.... Сада, може се развити производ матрица у нашој једначини: $${\displaystyle {\begin{aligned}p(t)I_{n}&=(tI_{n}-A)B\\&=(tI_{n}-A)\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}tI_{n}\cdot t^{i}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}A\cdot t^{i}B_{i}\\&=\sum _{i=0}^{n-1}t^{i+1}B_{i}-\sum _{i=0}^{n-1}t^{i}AB_{i}\\&=t^{n}B_{n-1}+\sum _{i=1}^{n-1}t^{i}(B_{i-1}-AB_{i})-AB_{0}.\end{aligned}}}$$

Пишући $${\displaystyle p(t)I_{n}=t^{n}I_{n}+t^{n-1}c_{n-1}I_{n}+\cdots +tc_{1}I_{n}+c_{0}I_{n},}$$ добија се једнакост две матрице са полиномијалним елементима, записане као линеарне комбинације константних матрица са степенима t као коефицијентима.

Таква једнакост може важити само ако је у било којој позицији матрице елемент који се множи датим степеном ${\displaystyle t^{i}}$ исти на обе стране; следи да константне матрице са коефицијентом ${\displaystyle t^{i}}$ у оба израза морају бити једнаке. Пишући ове једначине за i од n наниже до 0, налазимо $${\displaystyle B_{n-1}=I_{n},\qquad B_{i-1}-AB_{i}=c_{i}I_{n}\quad {\text{за }}1\leq i\leq n-1,\qquad -AB_{0}=c_{0}I_{n}.}$$

Коначно, помножимо једначину коефицијената уз ${\displaystyle t^{i}}$ са леве стране са ${\displaystyle A^{i}}$, и саберимо:

$${\displaystyle A^{n}B_{n-1}+\sum \limits _{i=1}^{n-1}\left(A^{i}B_{i-1}-A^{i+1}B_{i}\right)-AB_{0}=A^{n}+c_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c_{1}A+c_{0}I_{n}.}$$

Леве стране чине телескопску суму и потпуно се поништавају; десне стране се сабирају у ${\displaystyle p(A)}$: $${\displaystyle 0=p(A).}$$ Ово комплетира доказ.

Синтеза прва два доказа

У првом доказу, било је могуће одредити коефицијенте B_i од B само на основу десне фундаменталне релације за адјунговану матрицу. Заправо, првих n изведених једначина могу се тумачити као одређивање количника B Еуклидског дељења полинома p(t)I_n са леве стране моничним полиномом I_nt − A, док последња једначина изражава чињеницу да је остатак нула. Ово дељење се врши у прстену полинома са матричним коефицијентима. Заиста, чак и над некомутативним прстеном, Еуклидско дељење моничним полиномом P је дефинисано и увек даје јединствен количник и остатак са истим условом степена као у комутативном случају, под условом да је прецизирано са које стране се жели да P буде фактор (овде је то са леве стране).

Да би се видело да су количник и остатак јединствени (што је овде битан део тврдње), довољно је записати ${\displaystyle PQ+r=PQ'+r'}$ као ${\displaystyle P(Q-Q')=r'-r}$ и приметити да пошто је P моничан, P(Q−Q′) не може имати степен мањи од степена P, осим ако је Q = Q′.

Али дељеник p(t)I_n и делилац I_nt − A који се овде користе леже у подпрстену (R[A])[t], где је R[A] подпрстен матричног прстена M(n, R) генерисан са A: R-линеарни омотач свих степена од A. Стога се Еуклидско дељење заправо може извршити унутар тог комутативног полиномијалног прстена, и наравно тада даје исти количник B и остатак 0 као у већем прстену; посебно, ово показује да B заправо лежи у (R[A])[t].

Али, у овом комутативном окружењу, валидно је поставити t на A у једначини

$${\displaystyle p(t)I_{n}=(tI_{n}-A)B;}$$

другим речима, применити евалуационо пресликавање

$${\displaystyle \operatorname {ev} _{A}:(R[A])[t]\to R[A]}$$

које је хомоморфизам прстена, дајући

$${\displaystyle p(A)=0\cdot \operatorname {ev} _{A}(B)=0}$$

баш као у другом доказу, што је и требало показати.

Поред доказивања теореме, горњи аргумент нам говори да су коефицијенти B_i од B полиноми по A, док смо из другог доказа само знали да леже у централизатору Z од A; уопштено Z је већи подпрстен од R[A] и није нужно комутативан. Посебно, слободни члан B₀ = adj(−A) лежи у R[A]. Пошто је A произвољна квадратна матрица, ово доказује да се adj(A) увек може изразити као полином по A (са коефицијентима који зависе од A).

Заправо, једначине пронађене у првом доказу омогућавају сукцесивно изражавање ${\displaystyle B_{n-1},\ldots ,B_{1},B_{0}}$ као полинома по A, што води до идентитета

${\displaystyle \operatorname {adj} (-A)=\sum _{i=1}^{n}c_{i}A^{i-1},}$

важећег за све n × n матрице, где је $${\displaystyle p(t)=t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots +c_{1}t+c_{0}}$$ карактеристични полином од A.

Приметимо да овај идентитет такође имплицира исказ Кејли—Хамилтонове теореме: може се пребацити adj(−A) на десну страну, помножити добијену једначину (са леве или десне стране) са A и искористити чињеницу да је $${\displaystyle -A\cdot \operatorname {adj} (-A)=\operatorname {adj} (-A)\cdot (-A)=\det(-A)I_{n}=c_{0}I_{n}.}$$

Види још: Фадев—Леверијеов алгоритам

Доказ коришћењем матрица ендоморфизама

Као што је горе поменуто, матрица p(A) у исказу теореме добија се прво израчунавањем детерминанте, а затим заменом матрице A за t; вршење те замене у матрицу ${\displaystyle tI_{n}-A}$ пре израчунавања детерминанте нема смисла. Ипак, могуће је дати интерпретацију где се p(A) добија директно као вредност одређене детерминанте, али то захтева сложеније окружење, оно са матрицама над прстеном у којем се могу интерпретирати и елементи ${\displaystyle A_{i,j}}$ од A и сама матрица A. За ово би се могао узети прстен M(n, R) n × n матрица над R, где се елемент ${\displaystyle A_{i,j}}$ реализује као ${\displaystyle A_{i,j}I_{n}}$, а A као она сама. Али разматрање матрица са матрицама као елементима може изазвати забуну са блок матрицама, што није намера, јер то даје погрешан појам детерминанте (подсетимо се да је детерминанта матрице дефинисана као збир производа њених елемената, а у случају блок матрице то углавном није исто што и одговарајући збир производа њених блокова!). Јасније је разликовати A од ендоморфизма φ n-димензионалног векторског простора V (или слободног R-модула ако R није поље) дефинисаног њоме у бази ${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$, и узети матрице над прстеном End(V) свих таквих ендоморфизама. Тада је φ ∈ End(V) могући елемент матрице, док A означава елемент M(n, End(V)) чији је i, j елемент ендоморфизам скаларног множења са ${\displaystyle A_{i,j}}$; слично ће ${\displaystyle I_{n}}$ бити интерпретиран као елемент M(n, End(V)). Међутим, пошто End(V) није комутативан прстен, детерминанта није дефинисана на M(n, End(V)); то се може урадити само за матрице над комутативним подпрстеном од End(V). Сада елементи матрице ${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$ сви леже у подпрстену R[φ] генерисаном идентитетом и φ, који је комутативан. Тада је дефинисано пресликавање детерминанте M(n, R[φ]) → R[φ], и ${\displaystyle \det(\varphi I_{n}-A)}$ се израчунава у вредност p(φ) карактеристичног полинома од A у φ (ово важи независно од релације између A и φ); Кејли—Хамилтонова теорема тврди да је p(φ) нула-ендоморфизам.

У овом облику, следећи доказ се може добити из оног у Atiyah & MacDonald (1969, Prop. 2.4) (који је заправо општији исказ везан за Накајамину лему; за идеал у тој пропозицији узима се цео прстен R). Чињеница да је A матрица од φ у бази e₁, ..., e_n значи да је $${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j=1}^{n}A_{j,i}e_{j}\quad {\text{за }}i=1,\ldots ,n.}$$ Ово се може тумачити као n компоненти једне једначине у Vⁿ, чији се чланови могу записати коришћењем производа матрица-вектор M(n, End(V)) × Vⁿ → Vⁿ који је дефинисан као и обично, али са појединачним елементима ψ ∈ End(V) и v у V који се „множе」 формирањем ${\displaystyle \psi (v)}$; ово даје: $${\displaystyle \varphi I_{n}\cdot E=A^{\operatorname {tr} }\cdot E,}$$ где је ${\displaystyle E\in V^{n}}$ елемент чија је компонента i једнака e_i (другим речима, то је база e₁, ..., e_n од V записана као колона вектора). Записивањем ове једначине као $${\displaystyle (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E=0\in V^{n}}$$ препознаје се транспонат матрице ${\displaystyle \varphi I_{n}-A}$ разматране горе, а њена детерминанта (као елемент M(n, R[φ])) је такође p(φ). Да би се из ове једначине извело да је p(φ) = 0 ∈ End(V), множи се са леве стране адјунгованом матрицом од ${\displaystyle \varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} }}$, која је дефинисана у матричном прстену M(n, R[φ]), дајући $${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot \left((\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot E\right)\\[1ex]&=\left(\operatorname {adj} (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\cdot (\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })\right)\cdot E\\[1ex]&=\left(\det(\varphi I_{n}-A^{\operatorname {tr} })I_{n}\right)\cdot E\\[1ex]&=(p(\varphi )I_{n})\cdot E;\end{aligned}}}$$ асоцијативност множења матрица-матрица и матрица-вектор коришћена у првом кораку је чисто формално својство тих операција, независно од природе елемената. Сада компонента i ове једначине каже да је p(φ)(e_i) = 0 ∈ V; дакле p(φ) нестаје на свим e_i, и пошто ови елементи генеришу V следи да је p(φ) = 0 ∈ End(V), чиме је доказ завршен.

Једна додатна чињеница која следи из овог доказа је да матрица A чији се карактеристични полином узима не мора бити идентична вредности φ замењеној у тај полином; довољно је да φ буде ендоморфизам од V који задовољава почетне једначине

$${\displaystyle \varphi (e_{i})=\sum _{j}A_{j,i}e_{j}}$$ за неки низ елемената e₁, ..., e_n који генеришу V (који простор може имати мању димензију од n, или у случају да прстен R није поље можда уопште није слободан модул).

Погрешан „доказ」: p(A) = det(AI_n − A) = det(A − A) = 0

Један упоран елементаран али нетачан аргумент^[17] за теорему је „једноставно」 узети дефиницију $${\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I_{n}-A)}$$ и заменити A за λ, добијајући $${\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=\det(A-A)=\det(\mathbf {0} )=0.}$$

Постоји много начина да се види зашто је овај аргумент погрешан. Прво, у Кејли—Хамилтоновој теореми, p(A) је n × n матрица. Међутим, десна страна горње једначине је вредност детерминанте, што је скалар. Дакле, не могу се изједначити осим ако је n = 1 (тј. A је само скалар). Друго, у изразу ${\displaystyle \det(\lambda I_{n}-A)}$, променљива λ се заправо појављује на дијагоналним елементима матрице ${\displaystyle \lambda I_{n}-A}$. За илустрацију, размотримо поново карактеристични полином у претходном примеру:

$${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}.}$$

Ако се замени цела матрица A за λ на тим позицијама, добија се

$${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-1&-2\\-3&{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-4\end{pmatrix}},}$$

у којем „матрични」 израз једноставно није валидан. Приметимо, међутим, да ако се одузимају скаларни умношци јединичних матрица уместо скалара у горњем изразу, тј. ако се замена врши као

$${\displaystyle \det \!{\begin{pmatrix}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-I_{2}&-2I_{2}\\-3I_{2}&{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}-4I_{2}\end{pmatrix}},}$$

онда је детерминанта заиста нула, али проширена матрица у питању се не израчунава у ${\displaystyle AI_{n}-A}$; нити се њена детерминанта (скалар) може поредити са p(A) (матрицом). Дакле, аргумент да је ${\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=0}$ и даље не важи.

Заправо, ако такав аргумент важи, требало би да важи и када се користе друге мултилинеарне форме уместо детерминанте. На пример, ако размотримо функцију перманента и дефинишемо ${\displaystyle q(\lambda )=\operatorname {perm} (\lambda I_{n}-A)}$, онда бисмо истим аргументом требали моћи да „докажемо」 да је q(A) = 0. Али ова тврдња је доказиво погрешна: у дводимензионалном случају, на пример, перманента матрице је дата са

$${\displaystyle \operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}=ad+bc.}$$

Дакле, за матрицу A из претходног примера,

$${\displaystyle {\begin{aligned}q(\lambda )&=\operatorname {perm} (\lambda I_{2}-A)=\operatorname {perm} \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}\\[6pt]&=(\lambda -1)(\lambda -4)+(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda +10.\end{aligned}}}$$

Ипак, може се проверити да је

$${\displaystyle q(A)=A^{2}-5A+10I_{2}=12I_{2}\neq 0.}$$

Један од доказа за Кејли—Хамилтонову теорему изнад има неке сличности са аргументом да је ${\displaystyle p(A)=\det(AI_{n}-A)=0}$. Увођењем матрице са ненумеричким коефицијентима, заиста се може дозволити да A живи унутар елемента матрице, али тада ${\displaystyle AI_{n}}$ није једнако A, и до закључка се долази другачије.

Докази коришћењем метода апстрактне алгебре

Основна својства Хасе—Шмитових извода на спољашњој алгебри ${\textstyle A=\bigwedge M}$ неког B-модула M (за који се претпоставља да је слободан и коначног ранга) користили су Gatto & Salehyan (2016, §4) да докажу Кејли—Хамилтонову теорему. Види такође Gatto & Scherbak (2015).

Комбинаторни доказ

Доказ заснован на развоју Лајбницове формуле за карактеристични полином дао је Штраубинг^[18], а генерализацију су дали Фоата и Картије користећи теорију моноида трага.

Апстракција и генерализације

Горњи докази показују да Кејли—Хамилтонова теорема важи за матрице са елементима у било ком комутативном прстену R, и да ће p(φ) = 0 важити кад год је φ ендоморфизам R-модула генерисаног елементима e₁,...,e_n који задовољава

$${\displaystyle \varphi (e_{j})=\sum a_{ij}e_{i},\qquad j=1,\ldots ,n.}$$

Ова општија верзија теореме је извор чувене Накајамине леме у комутативној алгебри и алгебарској геометрији.

Кејли—Хамилтонова теорема такође важи за матрице над кватернионима, који чине некомутативни прстен.^{[19][напомена 3]}

Види још

• Пратећа матрица

Напомене

1. Види одељак 2 у Krivoruchenko (2016). Експлицитан израз за коефицијенте c_i пружа Kondratyuk & Krivoruchenko (1992): $${\displaystyle c_{i}=\sum _{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{n}}\prod _{l=1}^{n}{\frac {(-1)^{k_{l}+1}}{l^{k_{l}}k_{l}!}}\operatorname {tr} (A^{l})^{k_{l}},}$$ где се збир узима преко скупова свих целобројних партиција k_l ≥ 0 које задовољавају једначину $${\displaystyle \sum _{l=1}^{n}lk_{l}=n-i.}$$
2. Види, нпр., стр. 54 у Brown 1994, који решава Јакобијеву формулу, $${\displaystyle {\frac {\partial p(\lambda )}{\partial \lambda }}=p(\lambda )\sum _{m=0}^{\infty }\lambda ^{-(m+1)}\operatorname {tr} A^{m}=p(\lambda )~\operatorname {tr} {\frac {I}{\lambda I-A}}\equiv \operatorname {tr} B~,}$$ где је B адјунгована матрица из наредног одељка. Такође постоји еквивалентан, повезан рекурзивни алгоритам који су увели Урбен Леверије и Дмитриј Константинович Фадев — Фадев—Леверијеов алгоритам, који гласи $${\displaystyle {\begin{aligned}M_{0}&\equiv O&c_{n}&=1\qquad &(k=0)\\[5pt]M_{k}&\equiv AM_{k-1}-{\frac {1}{k-1}}(\operatorname {tr} (AM_{k-1}))I\qquad \qquad &c_{n-k}&=\frac {1}{k}}\operatorname {tr} (AM_{k})\qquad &k=1,\ldots ,n~.\end{aligned}}}$$... (види, нпр., Gantmacher 1960, стр. 88.) Приметимо A⁻¹ = −M_n /c₀ јер се рекурзија завршава. Види алгебарски доказ у следећем одељку, који се ослања на модове адјунговане матрице, B_k ≡ M_n−k. Конкретно, ${\displaystyle (\lambda I-A)B=Ip(\lambda )}$ и горњи извод од p када се нађе његов траг даје $${\displaystyle \lambda p'-np=\operatorname {tr} (AB)~,}$$ (Hou 1998), и горње рекурзије, заузврат.
3. Због некомутативне природе операције множења за кватернионе и повезане конструкције, потребно је водити рачуна о дефиницијама, највише у овом контексту, за детерминанту. Теорема важи и за нешто мање правилне split-quaternionе, види Alagös, Oral & Yüce (2012). Прстени кватерниона и split-кватерниона могу се представити одређеним 2 × 2 комплексним матрицама. (Када су ограничени на јединичну норму, ово су групе SU(2) и SU(1,1) респективно.) Стога није изненађујуће да теорема важи.
   Не постоји таква матрична репрезентација за октонионе, јер операција множења није асоцијативна у овом случају. Међутим, модификована Кејли—Хамилтонова теорема ипак важи за октонионе, види Tian (2000).