Максвел–Болцманова дистрибуција

У физици (посебно у статистичкој механици), Максвел-Болцманова расподела је посебна дистрибуција вероватноће названа по Џејмсу Клерку Максвелу и Лудвигу Болцману.

Прво је дефинисана и коришћена за описивање брзина честица у идеалним гасовима, где се честице слободно крећу унутар непокретног контејнера без међусобне интеракције, изузев врло кратких судара у којима међусобно или са својим окружењем размењују енергију и моментум. Термин „честица“ у овом контексту односи се само на гасовите честице ( атоме или молекуле), а претпоставља се да је систем честица достигао термодинамичку равнотежу . ^[1] Енергије таквих честица прате оно што је познато као Максвел-Болцманова статистика, а статистичка расподела брзина изведена је изједначавањем енергија честица са кинетичком енергијом .

Математички, Максвел-Болцманова расподела је хи дистрибуција са три степена слободе (компоненте вектора брзине у Еуклидовом простору), са параметром скале који мери брзине у јединицама пропорционалним квадратном корену од ${\displaystyle T/m}$ (однос температуре и масе честица). ^[2]

Максвел-Болцманова расподела резултат је кинетичке теорије гасова, која пружа поједностављено објашњење многих основних гасних својстава, укључујући притисак и дифузију . ^[3] Максвел-Болцманова расподела се у основи примењује на брзине честица у три димензије, али се испоставило да зависи само од брзине ( износа брзине) честица. Расподела вероватноће брзине честице указује на то које су брзине вероватније: честица ће имати брзину случајно одабрану из расподеле и већа је вероватноћа да ће бити унутар једног опсега брзина од другог. Кинетичка теорија гасова односи се на класични идеалан гас, који је идеализација стварних гасова. У стварним гасовима постоје различити ефекти (нпр. Ван дер Валсове интеракције, вртложни ток, релативистичка ограничења брзине и интеракције квантне размене ) који могу учинити њихову расподелу брзине другачијом од Максвел-Болцмановог модела. Међутим, разређени гасови на уобичајеним температурама понашају се готово као идеалан гас и Максвелова расподела брзине је одлична апроксимација за такве гасове. Идеалне плазме, које су јонизовани гасови са довољно малом густином, често имају и расподелу честица која је делимично или у потпуности максвеловска. ^[4]

Дистрибуцију је први извео Максвел 1860. године на хеуристичким основама. ^[5] Болцман је касније, 1870-их, спровео значајна истраживања физичког порекла ове дистрибуције.

Дистрибуција се може извести на основу тога што максимализује ентропију система. Списак извода су:

1. Максимална расподела вероватноће ентропије у фазном простору, са ограничењем очувања просечне енергије${\displaystyle \langle H\rangle =E}$ ;
2. Канонски ансамбл .

Функција дистрибуције

Под претпоставком да систем од интереса садржи велики број честица, удео честица унутар бесконачно малог елемента тродимензионалног простора брзине,${\displaystyle d^{3}v}$, центриран на вектор брзине величине${\displaystyle v}$, је${\displaystyle f(v)d^{3}v}$, у којима

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{3}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\,e^{<s+ds)={\frac {ms}{kT}}\exp {\bigg ({\frac {ms^{2}}{2kT}}{\bigg )}ds}$

Ова расподела се користи за опис система у равнотежи. Међутим, већина система не започиње у равнотежном стању. Еволуцијом система ка његовом равнотежном стању управља Болцманова једначина . Једначина предвиђа да ће за интеракције кратког домета равнотежна расподела брзине следити Максвел-Болцманову расподелу. Десно је симулација молекуларне динамике (МД) у којој је 900 честица тврде сфере ограничено да се креће у правоугаонику. Они комуницирају помоћу савршено еластичних судара. Систем се покреће из равнотеже, али расподела брзине (у плавој боји) брзо конвергира у 2D Максвел-Болцман расподелу (у наранџастој боји).

Типичне брзине

Максвел-Болцманова расподела која одговара соларној атмосфери. Масе честица су једна протонска маса, ${\displaystyle m=1{\text{ amu}}=1.67\times 10^{-24}{\text{ g }}}$, а температура је ефективна температура сунчеве фотосфере, ${\displaystyle T=5800{\text{ K }}}$ .${\displaystyle {\tilde {V}},{\bar {V}},{\text{ and }}V_{\text{rms}}}$ означавају највероватније, средње и средње средње квадратне брзине. Њихове вредности су${\displaystyle {\tilde {V}}\approx 9.79{\text{ km/s, }}}$${\displaystyle {\bar {V}}\approx 11.05{\text{ km/s, }}}$ и${\displaystyle V_{\text{rms}}\approx 12.00{\text{ km/s }}}$ .

Средња брзина ${\displaystyle \langle v\rangle }$, највероватнија брзина ( режим) v_p и средња квадратна брзина${\displaystyle {\sqrt {\langle v^{2}\rangle }}}$ могу се добити из својстава Максвелове расподеле.

Ово добро функционише за готово идеалне, монатомске гасове попут хелијума, али и за молекуларне гасове попут двоатомског кисеоника . То је зато што, упркос већем топлотном капацитету (већој унутрашњој енергији при истој температури) због већег броја степени слободе, њихова транслациона кинетичка енергија (а самим тим и брзина) остаје непромењена. ^[6]

${\displaystyle =\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}\int _{0}^{\infty }v^{4}\ e^{-bv^{2}}dv\right)^{1/2}\,\!}$

${\displaystyle =\left(4\pi \left({\frac {b}{\pi }}\right)^{\frac {3}{2}}{\frac {3}{8}}{\sqrt {\frac {\pi }{b^{5}}}}\right)^{1/2}=\left({\frac {3}{2b}}\right)^{1/2}\,\!}$

${\displaystyle ={\sqrt {\frac {3kT}{m}}}={\sqrt {\frac {3RT}{M}}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}}$}->Укратко, типичне брзине су повезане на следећи начин:

${\displaystyle v_{p}\approx 88.6\%\ \langle v\rangle <\langle v\rangle <108.5\%\ \langle v\rangle \approx v_{\mathrm {rms} }.}$

Средња квадратна брзина директно је повезана са брзином звука c у гасу, за

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {\gamma }{3}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{3f}}}\ v_{\mathrm {rms} }={\sqrt {\frac {f+2}{2f}}}\ v_{p},}$

где${\displaystyle \gamma =1+{\frac {2}{f}}}$ је адијабатски индекс, f је број степена слободе појединачног молекула гаса. За горњи пример, двоатомни азот (приближни ваздух) на 7002300000000000000♠300, ${\displaystyle f=5}$ ^[7] и

${\displaystyle c={\sqrt {\frac {7}{15}}}v_{\mathrm {rms} }\approx 68\%\ v_{\mathrm {rms} }\approx 84\%\ v_{p}\approx 353\ \mathrm {m/s} ,}$

права вредност ваздуха се може апроксимализовати коришћењем просечне моларне тежине ваздуха ( 7001290000000000000♠29 ), дајући 7002347000000000000♠347 на 7002300000000000000♠300 (корекције за променљиву влажност ваздуха су реда од 0,1% до 0,6%).

Просечна релативна брзина

${\displaystyle v_{\rm {rel}}\equiv \langle |{\vec {v}}_{1{\vec {v}}_{2}|\rangle =\int \!d^{3}v_{1}d^{3}v_{2}|{\vec {v}}_{1{\vec {v}}_{2}|f({\vec {v}}_{1})f({\vec {v}}_{2})={\frac {4}{\sqrt {\pi }}}{\sqrt {\frac {kT}{m}}}={\sqrt {2}}\langle v\rangle }$

где је тродимензионална расподела брзине

${\displaystyle f({\vec {v}})\equiv {\frac {1}{(2\pi kT/m)^{3/2}}}e^{\frac {1}{2}}m{\vec {v}}^{2}/kT}.}$

Интеграл се лако може извршити променом на координате${\displaystyle {\vec {u}}={\vec {v}}_{1{\vec {v}}_{2}}$ и${\displaystyle {\vec {U}}={\frac {{\vec {v}}_{1}+{\vec {v}}_{2}}{2}}.}$

Извођење и сродне дистрибуције

Максвел – Болцман статистика

Првобитно извођење из 1860. године Џејмса Клерка Максвела био је аргумент заснован на молекуларним сударима кинетичке теорије гасова као и одређеним симетријама у функцији расподеле брзине; Максвел је такође дао рани аргумент да ови молекуларни судари имају тенденцију ка равнотежи. ^{[5] [8]} После Максвела, Лудвиг Болцман је 1872. године ^[9] такође извео расподелу на механичким основама и тврдио да би гасови временом требало да теже ка тој расподели, услед судара (види Х-теорему ). Касније (1877) ^[10] је поново извео расподелу у оквиру статистичке термодинамике . Изводи у овом одељку су у складу са Болцмановим извођењем из 1877. године, почев од резултата познатог као Максвел -Болцман статистика (из статистичке термодинамике). Максвел -Болцманова статистика даје просечан број честица пронађених у датом једночестичном микростању. Под одређеним претпоставкама, логаритам фракције честица у датом микростању сразмеран је односу енергије тог стања и температуре система:

${\displaystyle -\log \left({\frac {N_{i}}{N}}\right)\propto {\frac {E_{i}}{T}}.}$

Претпоставке ове једначине су да честице не интерагују међусобно и да су класичне; то значи да се стање сваке честице може сматрати независно од стања осталих честица. Поред тога, претпоставља се да су честице у топлотној равнотежи. ^{[1] [11]}

Ова веза се може написати као једначина увођењем нормализујућег фактора:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {\exp(-E_{i}/kT)}{\sum _{j}\exp(-E_{j}/kT)}}}$

(1)

где:

• N_i је очекивани број честица у једночестичном микростању i,
• N је укупан број честица у систему,
• E_i је енергија микростања i,
• збир над индексом j узима у обзир сва микростања,
• T је равнотежна температура система,
• k је Болцманова константа .

Деноминатор у једначини ( 1 ) је једноставно нормализујући фактор тако да односи${\displaystyle N_{i}:N}$ доприносе јединству- другим речима, то је нека врста партицијске функције (за једнопартицијски систем, а не уобичајена партицијска функција читавог система).

Будући да су брзина и велоцитет повезани са енергијом, једначина ( 1 ) се може користити за добијање односа између температуре и брзине честица гаса. Све што је потребно је открити густину микростања у енергији, која се одређује поделом простора импулса на регионе једнаке величине.

Расподела вектора импулса

За потенцијалну енергију се узима нула, тако да је сва енергија у облику кинетичке енергије. Однос између кинетичке енергије и импулса за масивне нерелативистичке честице је

${\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}}$

(2)

где је п ² квадрат импулсног вектора p = [ п _к,  п _и,  п _з ]. Стога једначину ( 1 ) можемо преписати као:

${\displaystyle {\frac {N_{i}}{N}}={\frac {1}{Z}}\exp \left[-{\frac {p_{i,x}^{2}+p_{i,y}^{2}+p_{i,z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

(3)

где је З партицијска функција, која одговара деноминатору у једначини ( 1 ). Овде је m молекулска маса гаса, Т термодинамичка температура и k Болцманова константа . Ова дистрибуција${\displaystyle N_{i}:N}$ је пропорционалан функцији густине вероватноће f _п за проналажење молекула са овим вредностима компоненти импулса, па:

${\displaystyle f_{\mathbf {p} }(p_{x},p_{y},p_{z})\propto \exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]}$

(4)

Нормализујућа константа може се одредити препознавањем да вероватноћа молекула има одређени замах мора бити 1. Интегрисањем експоненцијала у ( 4 ) по свим p_k,p _y и pz добија се фактор од

${\displaystyle \iiint _{-\infty }^{+\infty }\exp \left[-{\frac {p_{x}^{2}+p_{y}^{2}+p_{z}^{2}}{2mkT}}\right]dp_{x}\ dp_{y}\ dp_{z}={({\sqrt {\pi }}{\sqrt {2mkT}})^{3}}}$

Тако да је нормализована функција расподеле:

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Сматра се да је расподела производ три независне нормално дистрибуиране променљиве${\displaystyle p_{x}}$, ${\displaystyle p_{y}}$, и${\displaystyle p_{z}}$, са одступањем${\displaystyle mkT}$ . Поред тога, може се видети да ће величина моментума бити распоређена као Максвел-Болцманова расподела, са${\displaystyle a={\sqrt {mkT}}}$ . Максвел-Болцманова расподела за импулс (или једнако за брзине) може се темељније добити помоћу Х-теореме у равнотежи у оквиру кинетичке теорије гасних оквира.

Расподела енергије

Расподела енергије је импозантна

${\displaystyle f_{E}(E)dE=f_{p}({\textbf {p}})d^{3}{\textbf {p}},}$

(7)

где${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}}$ је бесконачно мали запремински простор импулса фазног простора који одговара енергетском интервалу${\displaystyle dE}$ . Користећи сферну симетрију односа дисперзије енергије и импулса${\displaystyle E=|{\textbf {p}}|^{2}/2m}$, ово се може изразити у${\displaystyle dE}$ на следећи начин :

${\displaystyle d^{3}{\textbf {p}}=4\pi |{\textbf {p}}|^{2}d|{\textbf {p}}|=4\pi m{\sqrt {2mE}}dE.}$

(8)

Користећи тада ( 8 ) у ( 7 ) и изражавајући све у смислу енергије${\displaystyle E}$, добијамо

${\displaystyle f_{E}(E)dE={\frac {1}{(2\pi mkT)^{3/2}}}e^{-E/kT}4\pi m{\sqrt {2mE}}dE=2{\sqrt {\frac {E}{\pi }}}\left({\frac {1}{kT}}\right)^{3/2}\exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)dE}$

${\displaystyle z=re^{i\phi }=x+iy\,\!}$

Будући да је енергија пропорционална збиру квадрата три нормално распоређене компоненте импулса, ова расподела енергије може се записати еквивалентно гама расподели, користећи параметар облика,${\displaystyle {k}_{shape}=3/2}$ и параметар скале,${\displaystyle {\theta }_{scale}=kT}$ .

Користећи теорему о равнотежи, с обзиром да је енергија равномерно распоређена између сва три степена слободе у равнотежи, такође можемо поделити${\displaystyle f_{E}(E)dE}$ у скуп хи-квадрат дистрибуција, где енергија по степену слободе,${\displaystyle \epsilon }$, дистрибуира се као хи-квадрат дистрибуција са једним степеном слободе, ^[12]

${\displaystyle f_{\epsilon }(\epsilon )\,d\epsilon ={\sqrt {\frac {1}{\pi \epsilon kT}}}~\exp \left[{\frac {-\epsilon }{kT}}\right]\,d\epsilon }$

У равнотежи, ова расподела ће важити за било који број степени слободе. На пример, ако су честице ригидни масени диполи фиксног диполног момента, имаће три транслациона степена слободе и два додатна ротациона степена слободе. Енергија у сваком степену слободе биће описана према горњој хи-квадрат расподели са једним степеном слободе, а укупна енергија биће распоређена према хи-квадрат дистрибуцији са пет степена слободе. То има импликације у теорији специфичне топлоте гаса.

Максвел-Болцман-ова расподела се такође може добити узимајући у обзир да је гас врста квантног гаса за који се може извршити апроксимација ε >> к Т.

Расподела за вектор брзине

Схватајући да је густина вероватноће брзине f _v пропорционална функцији густине вероватноће импулса за

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }d^{3}v=f_{\mathbf {p} }\left({\frac {dp}{dv}}\right)^{3}d^{3}v}$

и користећи p = m v добијамо

\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]}"> f v ( v x , v y , v z ) = ( m 2 π k T ) 3 / 2 exp ⁡ [ − m ( v x 2 + v y 2 + v z 2 ) 2 k T ] {\displaystyle f_{\mathbf {v} }(v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{3/2}\exp \left[-{\frac {m(v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2})}{2kT}}\right]}

што је Максвел-Болцманова расподела брзине. Вероватноћа проналаска честице брзином у бесконачно малом елементу [ dv _k,  dv _y, dv _z ] о брзини v = [ v_k, v _y,  v z] је

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)\,dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}.}$

Као и моментум, и за ову расподелу се види да је производ три независне нормално дистрибуиране променљиве${\displaystyle v_{x}}$, ${\displaystyle v_{y}}$, и${\displaystyle v_{z}}$, али са одступањем${\displaystyle {\frac {kT}{m}}}$ . Такође се може видети да је Максвел-Болцманова расподела брзине за векторску брзину [v _k,  v _y,  _vz ] је умножак расподеле за сваки од три правца:

${\displaystyle f_{\mathbf {v} }\left(v_{x},v_{y},v_{z}\right)=f_{v}(v_{x})f_{v}(v_{y})f_{v}(v_{z})}$

где је расподела за један правац

${\displaystyle f_{v}(v_{i})={\sqrt {\frac {m}{2\pi kT}}}\exp \left[{\frac {-mv_{i}^{2}}{2kT}}\right].}$

Свака компонента вектора брзине има нормалну расподелу са средњом вредношћу${\displaystyle \mu _{v_{x}}=\mu _{v_{y}}=\mu _{v_{z}}=0}$ и стандардна девијација${\displaystyle \sigma _{v_{x}}=\sigma _{v_{y}}=\sigma _{v_{z}}={\sqrt {\frac {kT}{m}}}}$, тако да вектор има тродимензионалну нормалну расподелу, одређену врсту мултиваријантне нормалне расподеле, са средњом вредности${\displaystyle \mu _{\mathbf {v} }={\mathbf {0} }}$ и коваријанција${\displaystyle \Sigma _{\mathbf {v} }=\left({\frac {kT}{m}}\right)I}$, где${\displaystyle I}$ је${\displaystyle 3\times 3}$ идентитет матрица.

Расподела брзине

Максвел-Болцманова расподела брзине следи непосредно из расподеле вектора брзине, горе. Имајте на уму да је брзина

${\displaystyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$

а елемент запремине у сферним координатама

${\displaystyle dv_{x}\,dv_{y}\,dv_{z}=v^{2}\sin \theta \,dv\,d\theta \,d\phi =v^{2}dv\,d\Omega }$

где${\displaystyle \phi }$ и${\displaystyle \theta }$ су сферни координатни углови вектора брзине. Интеграција функције густине вероватноће брзине преко пуних углова${\displaystyle d\Omega }$ даје додатни фактор од${\displaystyle 4\pi }$ . Расподела брзине са заменом брзине за збир квадрата векторских компонената:

${\displaystyle f(v)=\left({\frac {2}{\pi }}\right)^{1/2}\left({\frac {m}{kT}}\right)^{3/2}v^{2}\exp \left[-{\frac {mv^{2}}{2kT}}\right].}$

У n -димензионалном простору

У n- димензионалном простору Максвел-Болцманова расподела постаје:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} ^{n}v=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{n/2}\,e^{-{\frac {m|v|^{2}}{2kT}}}~\mathrm {d} ^{n}v}$

Дистрибуција брзине постаје:

${\displaystyle f(v)~\mathrm {d} v={\text{const.}}\times e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\times v^{n-1}~\mathrm {d} v}$

Следећи интегрални резултат је користан:

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{+\infty }v^{a}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}dx^{\frac {1}{2}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}\int _{0}^{+\infty }e^{-x}x^{\frac {a}{2}}{\frac {x^{-{\frac {1}{2}}}}{2}}dx\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{(a+1)/2}{\frac {\Gamma ({\frac {a+1}{2}})}{2}}\end{aligned}}}$

где${\displaystyle \Gamma (z)}$ је функција Гама . Овај резултат се може користити за израчунавање тренутака функције расподеле брзине:

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\end{aligned}}}$

која је сама средња брзина${\displaystyle v_{\text{avg}}=\langle v\rangle =\left[{\frac {2kT}{m}}\right]^{1/2}{\frac {\Gamma ({\frac {n+1}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}}$ .

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle v^{2}\rangle &={\frac {\int _{0}^{+\infty }v^{2}\cdot v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}{\int _{0}^{+\infty }v^{n-1}e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}dv}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {\Gamma ({\frac {n+2}{2}})}{\Gamma ({\frac {n}{2}})}}\\&=\left[{\frac {2kT}{m}}\right]{\frac {n}{2}}={\frac {nkT}{m}}\end{aligned}}}$

Извод функције расподеле брзине:

${\displaystyle {\frac {df(v)}{dv}}={\text{const.}}\times \ e^{-{\frac {mv^{2}}{2kT}}}\left(-{\frac {mv}{kT}}v^{n-1}+(n-1)v^{n-2}\right)=0}$

Види још

• Квантна Болцманова једначина
• Максвел – Болцман статистика
• Максвел-Јуттнерова расподела
• Болцманова расподела
• Болцманов фактор
• Раилеигх дистрибуција
• Кинетичка теорија гасова