Минимални полином

У различитим областима математике, минимални полином објекта јесте у одређеном смислу нормирани полином најмањег могућег степена такав да је . Посебно је значајан појам минималног полинома у линеарној алгебри и теорији поља.

Линеарна алгебра

У линеарној алгебри, минимални полином квадратне матрице је монични полином најмањег могућег степена такав да је

.

Свака матрица има једнозначно одређен минимални полином; он се најчешће означава са . Минимални полином матрице дели сваки од полинома који је поништавају, тако да се може одредити и као њихов највећи заједнички делилац, односно као монични генератор главног идеала

у прстену полинома .

Сличне матрице имају једнаке минималне полиноме. Минимални полином линеарног оператора јесте минимални полином ма које од његових матрица (које су све међусобно сличне); истовремено, то је и монични полином најмањег степена такав да је .

Минимални и карактеристични полином матрице имају једнаке скупове нула, при чему са могућно различитим вишеструкостима. Други начин да се искаже ово својство јесте релација

Релација је последица Кејли-Хамилтонове теореме, према којој је . На основу овог својства, минимални полином матрице се у пракси најчешће налази тако што се прво израчуна и на чиниоце разложи њен карактеристични полином, а затим се минимални полином тражи међу његовим делитељима са истим скупом нула. Минимални полином квадратне матрице реда је степена највише .

Минимални полином, својствене вредности и канонски облици матрице

Нуле карактеристичног, па дакле и минималног, полинома матрице су њене својствене вредности. Посебно, ако матрица има различитих својствених вредности , тада се њен минимални и карактеристични полином подударају и оба су једнака

.

Општије, свака матрица има Жорданову нормалну форму, једнозначно одређену до на редослед блокова, по неколико њих за сваку својствену вредност матрице, и која јој је слична, те тако има исти минимални и карактеристични полином. Ако матрица има својствене вредности са алгебарским вишеструкостима (тако да је ), и ако су, за свако , димензије Жорданових блокова који одговарају својственој вредности (тако да је ), тада је

${\displaystyle \phi _{A}=(X-\lambda _{1})^{r_{1}}(X-\lambda _{2})^{r_{2}}\cdots (X-\lambda _{k})^{r_{k}}}$, ${\displaystyle \mu _{A}=(X-\lambda _{1})^{\nu _{s_{1}}(1)}(X-\lambda _{2})^{\nu _{s_{2}}(2)}\cdots (X-\lambda _{k})^{\nu _{s_{k}}(k)}}$.

Посебно се минимални и карактеристични полином матрице подударају ако и само ако свакој њеној својственој вредности одговара по тачно један Жорданов блок, односно ако и само ако су геометријске вишеструкости свих својствених вредности (за својствену вредност λ_i то је , број одговарајућих Жорданових блокова) једнаке 1.

Матрица је дијагонализабилна над неким пољем ако и само ако је њен минимални полином производ различитих линеарних фактора над .

Матрице код којих се минимални и карактеристични полином подударају се погодно карактеришу и као управо матрице које су сличне некој цикличној матрици; линеарни оператори који одговарају таквим матрицама се и сами називају цикличним операторима. Општије, ако су канонски циклични блокови матрице и њихови карактеристични (и истовремено минимални) полиноми, тзв. инваријантни делитељи матрице , тада је

,  .

Уопштења

Коришћењем теорије Галуа се установљава да минимални полиом матрице не зависи од поља над којим се она посматра: ако је потпоље неког поља и матрица над пољем , тада је минимални полином матрице као матрице над пољем истовремено и њен минимални полином као матрице над пољем .

Минимални полином се дефинише и за матрице над ма којим главноидеалским прстеном као генератор идеала полинома који поништавају матрицу у прстену полинома , за који се доказује да је онда и сам главноидеалски; у том случају он је дефинисан једнозначно до на множење јединицама прстена .

Минимални полином се такође може дефинисати и за линеарне операторе на просторима произвољне (могућно бесконачне) димензије као монични полином најмањег степена такав да је , ако такав полином постоји. На пример, у функционалној анализи, сваки оператор пројекције у простору произвољне димензије је идемпотентан, па задовољава једначину . Стога је његов минималан полином увек један од полинома (за оператор пројекције на нула-потпростор), (за идентични оператор) или (за све остале операторе пројекције).