Сличне матрице

У математици, посебно линеарној алгебри, две матрице и су сличне ако су то матрице једног истог линеарног пресликавања неког векторског простора у односу на две његове базе и , редом.

Тада за матрицу промене координата при преласку са базе на базу , , важи .

Дефиниција

За две квадратне матрице и истог реда кажемо да су сличне матрице ако за неку инверзибилну матрицу реда важи:

Особине сличних матрица

Сличне матрице нису „сличне“ у лаичком смислу, јер оне наоко могу изгледати сасвим различито.

Сличност матрица је релација еквиваленције. Једно од основних питања којима се бави линеарна алгебра јесте налажење, за дату матрицу , у извесном смислу што „једноставније“ матрице сличне матрици . Матрице сличне некој дијагоналној матрици називају се дијагонализабилне (понегде дијагонабилне) матрице; доказује се да су такве, на пример, све матрице са различитих својствених вредности, али и неке друге. Са друге стране, свака комплексна матрица има јединствену Жорданову нормалну форму, која јој је слична; општије, свака матрица над ма којим пољем слична је тачно једној матрици у Жордановој нормалној форми над алгебарским затворењем и две матрице су међусобно сличне ако и само ако су њихове Жорданове форме идентичне (до на редослед блокова). Од интереса су и други канонски облици матрица.

Сличност не зависи од поља: ако је поље које садржи неко потпоље , тада су две матрице и над сличне као матрице над ако и само ако су сличне као матрице над .

Посебно, кажемо да су матрице пермутационо сличне ако се матрица може изабрати тако да буде пермутациона, унитарно сличне ако се S може изабрати да буде унитарна, итд. Према спектралној теореми је свака нормална матрица унитарно слична дијагоналној; посебно је свака реална симетрична матрица ортогонално и свака хермитска матрица унитарно дијагонализабилна.

Пресликавање , конјугација у смислу теорије група у линеарној групи инверзибилних матрица, се назива пресликавањем сличности и аутоморфизам је алгебре свих матрица. Ако је , онда је

за ма који полином, или општије ма коју функцију аналитичку на домену у комплексној равни који садржи све својствене вредности матрице . Посебно, ако је дијагонализабилна и њој слична дијагонална матрица, тада су сви степени матрице дати једноставном формулом

.

Овај резултат се користи при решавању линеарног дискретног динамичког система , чије је решење . Аналогно сличне дијагоналне матрице помажу у решавању система линеарних диференцијалних једначина, односно непрекидног динамичког система. Помоћу исте формуле се нумерички брзо и прецизно израчунава доминантна својствена вредност (својствена вредност највеће апсолутне вредности).

Сличне матрице имају једнак ранг, дефект, детерминанту, траг, карактеристични и минимални полином, исте својствене вредности са једнаким алгебарским вишеструкостима и димензијама одговарајућих својствених простора. Ранг линеарног пресликавања је ранг ма које од његових матрица (које су сличне међу собом, те тако све имају исти ранг); слично се могу дефинисати и карактеристични и минимални полином линеарног пресликавања, итд.

Види још

• Матрица