Рамануџанов збир

Не поистовећивати са Рамануџанова сумација.

У теорији бројева, Рамануџанов збир, који се обично означава са ${\displaystyle c_{q}(n)}$, је функција две позитивне целобројне променљиве q и n дефинисана формулом:

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{1\leq a\leq q \atop (a,q)=1}e^{2\pi i{\tfrac {a}{q}}n},}$

где ${\displaystyle (a,q)=1}$ значи да a узима само вредности узајамно просте са q.

Сриниваса Рамануџан је поменуо ове збирове у раду из 1918. године.^[1] Поред развоја размотрених у овом чланку, Рамануџанови збирови се користе у доказу Виноградовљеве теореме да је сваки довољно велики непаран број збир три проста броја.^[2]

Нотација

За целе бројеве a и b, ${\displaystyle a\mid b}$ се чита „a дели b」 и значи да постоји цео број c такав да је ${\displaystyle {\frac {b}{a}}=c.}$ Слично, ${\displaystyle a\nmid b}$ се чита „a не дели b」. Симбол за сумирање

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,m}f(d)}$

значи да d пролази кроз све позитивне делитеље броја m, нпр.

${\displaystyle \sum _{d\,\mid \,12}f(d)=f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(6)+f(12).}$

${\displaystyle (a,\,b)}$ је највећи заједнички делилац,

${\displaystyle \phi (n)}$ је Ојлерова фи функција,

${\displaystyle \mu (n)}$ је Мебијусова функција, а

${\displaystyle \zeta (s)}$ је Риманова зета-функција.

Формуле за cq(n)

Тригонометрија

Ове формуле потичу из дефиниције, Ојлерове формуле ${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}$ и елементарних тригонометријских идентитета.

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(n)&=1\\c_{2}(n)&=\cos n\pi \\c_{3}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{3}}n\pi \\c_{4}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{2}}n\pi \\c_{5}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{5}}n\pi \\c_{6}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{3}}n\pi \\c_{7}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{7}}n\pi +2\cos {\tfrac {6}{7}}n\pi \\c_{8}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{4}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{4}}n\pi \\c_{9}(n)&=2\cos {\tfrac {2}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {4}{9}}n\pi +2\cos {\tfrac {8}{9}}n\pi \\c_{10}(n)&=2\cos {\tfrac {1}{5}}n\pi +2\cos {\tfrac {3}{5}}n\pi \\\end{aligned}}}$

и тако даље ((секвенца A000012 у ), (секвенца A033999 у ), (секвенца A099837 у ), (секвенца A176742 у ),.., (секвенца A100051 у ),...). ${\displaystyle c_{q}(n)}$ је увек цео број.

Клојверова формула

Нека је ${\displaystyle \zeta _{q}=e^{\frac {2\pi i}{q}}.}$ Тада је ${\displaystyle \zeta _{q}}$ корен једначине ${\displaystyle x^{q}-1=0}$. Сваки његов степен,

${\displaystyle \zeta _{q},\zeta _{q}^{2},\ldots ,\zeta _{q}^{q-1},\zeta _{q}^{q}=\zeta _{q}^{0}=1}$

је такође корен. Пошто их има q, они су сви корени. Бројеви ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}}$ где је 1 ≤ n ≤ q називају се q-ти корени јединице. ${\displaystyle \zeta _{q}}$ се назива примитивни q-ти корен јединице јер је најмања вредност n за коју је ${\displaystyle \zeta _{q}^{n}=1}$ управо q. Остали примитивни q-ти корени јединице су бројеви ${\displaystyle \zeta _{q}^{a}}$ где је (a, q) = 1. Стога, постоји φ(q) примитивних q-тих корена јединице.

Тако је Рамануџанов збир c_q(n) збир n-тих степена примитивних q-тих корена јединице.

Чињеница је^[3] да су степени од ${\displaystyle \zeta _{q}}$ тачно примитивни корени за све делитеље броја q.

Пример. Нека је q = 12. Тада су

${\displaystyle \zeta _{12},\zeta _{12}^{5},\zeta _{12}^{7},}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{11}}$ примитивни дванаести корени јединице,

${\displaystyle \zeta _{12}^{2}}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{10}}$ су примитивни шести корени јединице,

${\displaystyle \zeta _{12}^{3}=i}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{9}=-i}$ су примитивни четврти корени јединице,

${\displaystyle \zeta _{12}^{4}}$ и ${\displaystyle \zeta _{12}^{8}}$ су примитивни трећи корени јединице,

${\displaystyle \zeta _{12}^{6}=-1}$ је примитивни други корен јединице, и

${\displaystyle \zeta _{12}^{12}=1}$ је примитивни први корен јединице.

Стога, ако је

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{k=1}^{q}\zeta _{q}^{kn}}$

збир n-тих степена свих корена, примитивних и непримитивних,

${\displaystyle \eta _{q}(n)=\sum _{d\mid q}c_{d}(n),}$

и помоћу Мебијусове инверзије,

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)\eta _{d}(n).}$

Из идентитета x^q − 1 = (x − 1)(x^q−1 + x^q−2 + ... + x + 1) следи да је

${\displaystyle \eta _{q}(n)={\begin{cases}0&q\nmid n\\q&q\mid n\\\end{cases}}}$

а ово води до формуле

${\displaystyle c_{q}(n)=\sum _{d\mid (q,n)}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d,}$

коју је објавио Клојвер 1906. године.^[4]

Ово показује да је c_q(n) увек цео број. Упоредите је са формулом

${\displaystyle \phi (q)=\sum _{d\mid q}\mu \left({\frac {q}{d}}\right)d.}$

вон Штернекова формула

Из дефиниције се лако показује да је c_q(n) мултипликативна када се посматра као функција од q за фиксну вредност n:^[5] тј.

${\displaystyle {\mbox{Ако је }}\;(q,r)=1\;{\mbox{ тада је }}\;c_{q}(n)c_{r}(n)=c_{qr}(n).}$

Из дефиниције (или Клојверове формуле) једноставно је доказати да, ако је p прост број,

${\displaystyle c_{p}(n)={\begin{cases}-1&{\mbox{ ако }}p\nmid n\\\phi (p)&{\mbox{ ако }}p\mid n\\\end{cases}},}$

и ако је p^k степен простог броја где је k > 1,

${\displaystyle c_{p^{k}}(n)={\begin{cases}0&{\mbox{ ако }}p^{k-1}\nmid n\\-p^{k-1}&{\mbox{ ако }}p^{k-1}\mid n{\mbox{ и }}p^{k}\nmid n\\\phi (p^{k})&{\mbox{ ако }}p^{k}\mid n\\\end{cases}}.}$

Овај резултат и мултипликативно својство могу се користити да се докаже

${\displaystyle c_{q}(n)=\mu \left({\frac {q}{(q,n)}}\right){\frac {\phi (q)}{\phi \left({\frac {q}{(q,n)}}\right)}}.}$

Ово се назива вон Штернекова аритметичка функција.^[6] Еквивалентност ове функције и Рамануџановог збира дугује се Хелдеру.^[7][8]

Друга својства c_q(n)

За све позитивне целе бројеве q,

${\displaystyle {\begin{aligned}c_{1}(q)&=1\\c_{q}(1)&=\mu (q)\\c_{q}(q)&=\phi (q)\\c_{q}(m)&=c_{q}(n)&&{\text{за }}m\equiv n{\pmod {q}}\\\end{aligned}}}$

За фиксну вредност q, апсолутна вредност низа ${\displaystyle \{c_{q}(1),c_{q}(2),\ldots \}}$ је ограничена са φ(q), а за фиксну вредност n, апсолутна вредност низа ${\displaystyle \{c_{1}(n),c_{2}(n),\ldots \}}$ је ограничена са n.

Ако је q > 1

${\displaystyle \sum _{n=a}^{a+q-1}c_{q}(n)=0.}$

Нека су m₁, m₂ > 0, m = нзс(m₁, m₂). Тада^[9] Рамануџанови збирови задовољавају својство ортогоналности:

${\displaystyle {\frac {1}{m}}\sum _{k=1}^{m}c_{m_{1}}(k)c_{m_{2}}(k)={\begin{cases}\phi (m)&m_{1}=m_{2}=m,\\0&{\text{иначе}}\end{cases}}}$

Нека су n, k > 0. Тада^[10]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {d\mid n}{\gcd(d,k)=1}}d\;{\frac {\mu ({\tfrac {n}{d}})}{\phi (d)}}={\frac {\mu (n)c_{n}(k)}{\phi (n)}},}$

познат као Брауер-Радемахеров идентитет.

Ако је n > 0 и a било који цео број, такође имамо^[11]

${\displaystyle \sum _{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}c_{n}(k-a)=\mu (n)c_{n}(a),}$

што се дугује Коену.

Табела

Рамануџанов збир c_s(n)

		n
		1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	30
s	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
	2	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1
	3	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2	−1	−1	2
	4	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2
	5	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4	−1	−1	−1	−1	4
	6	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2	1	−1	−2	−1	1	2
	7	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1	−1	−1	−1	−1	6	−1	−1
	8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0
	9	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3	0	0	−3	0	0	6	0	0	−3
	10	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4	1	−1	1	−1	−4	−1	1	−1	1	4
	11	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	10	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	12	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4	0	−2	0	2	0	4	0	2	0	−2	0	−4
	13	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	12	−1	−1	−1	−1
	14	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1	1	−1	1	−1	−6	−1	1	−1	1	−1	1	6	1	−1
	15	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8	1	1	−2	1	−4	−2	1	1	−2	−4	1	−2	1	1	8
	16	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0	0	8	0	0	0	0	0	0	0	−8	0	0	0	0	0	0
	17	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	16	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	18	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3	0	0	3	0	0	6	0	0	3	0	0	−3	0	0	−6	0	0	−3
	19	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	18	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	20	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	8	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−8
	21	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2	1	1	−2	1	−6	−2	1	1	−2	1	1	12	1	1	−2	1	1	−2	−6	1	−2
	22	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−10	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	10	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1
	23	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	22	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1
	24	0	0	0	4	0	0	0	−4	0	0	0	−8	0	0	0	−4	0	0	0	4	0	0	0	8	0	0	0	4	0	0
	25	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	−5	0	0	0	0	20	0	0	0	0	−5
	26	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	−12	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	−1	1	12	1	−1	1	−1
	27	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	−9	0	0	0	0	0	0	0	0	18	0	0	0
	28	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	−12	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	−2	0	2	0	12	0	2
	29	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	−1	28	−1
	30	−1	1	2	1	4	−2	−1	1	2	−4	−1	−2	−1	1	−8	1	−1	−2	−1	−4	2	1	−1	−2	4	1	2	1	−1	8

Рамануџанови развоји

Ако је f(n) аритметичка функција (тј. функција комплексне вредности целих или природних бројева), онда се конвергентни бесконачни ред облика:

${\displaystyle f(n)=\sum _{q=1}^{\infty }a_{q}c_{q}(n)}$

или облика:

${\displaystyle f(q)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}c_{q}(n)}$

где су a_k ∈ C, назива Рамануџанов развој^[12] функције f(n).

Рамануџан је пронашао развоје неких од познатих функција у теорији бројева. Сви ови резултати су доказани на "елементаран" начин (тј. само коришћењем формалних манипулација са редовима и најједноставнијих резултата о конвергенцији).^[13][14][15]

Развој нулте функције зависи од резултата из аналитичке теорије простих бројева, наиме да ред

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}}$

конвергира ка 0, а резултати за r(n) и r′(n) зависе од теорема из ранијег рада.^[16]

Све формуле у овом одељку потичу из Рамануџановог рада из 1918. године.

Генераторне функције

Генераторне функције Рамануџанових збирова су Дирихлеови редови:

${\displaystyle \zeta (s)\sum _{\delta \,\mid \,q}\mu \left({\frac {q}{\delta }}\right)\delta ^{1-s}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{n^{s}}}}$

је генераторна функција низа c_q(1), c_q(2), ... где је q константно, а

${\displaystyle {\frac {\sigma _{r-1}(n)}{n^{r-1}\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}}}}$

је генераторна функција низа c₁(n), c₂(n), ... где је n константно.

Постоји и двоструки Дирихлеов ред

${\displaystyle {\frac {\zeta (s)\zeta (r+s-1)}{\zeta (r)}}=\sum _{q=1}^{\infty }\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {c_{q}(n)}{q^{r}n^{s}}}.}$

Полином са Рамануџановим збировима као коефицијентима може се изразити помоћу циклотомичних полинома^[17]

${\displaystyle \sum _{n=1}^{q}c_{q}(n)x^{n-1}=(x^{q}-1){\frac {\Phi _{q}'(x)}{\Phi _{q}(x)}}=\Phi _{q}'(x)\prod _{\begin{array}{c}d\mid q\\[-4pt]d\neq q\end{array}}\Phi _{d}(x)}$

σ_k(n)

σ_k(n) је делитељска функција (тј. збир k-тих степена делитеља броја n, укључујући 1 и n). σ₀(n), број делитеља од n, обично се пише d(n), а σ₁(n), збир делитеља од n, обично се пише σ(n).

Ако је s > 0,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{s}(n)&=n^{s}\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\\\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s+1}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s+1}}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Постављањем s = 1 добија се

${\displaystyle \sigma (n)={\frac {\pi ^{2}}{6}}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{2}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}}+\cdots \right).}$

Ако је Риманова хипотеза тачна, и ${\displaystyle \tfrac {1}{2}}<s<{\tfrac {1}{2}},}$

${\displaystyle \sigma _{s}(n)=\zeta (1-s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1-s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1-s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1-s}}}+\cdots \right)=n^{s}\zeta (1+s)\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{1+s}}}+{\frac {c_{2}(n)}{2^{1+s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{1+s}}}+\cdots \right).}$

d(n)

d(n) = σ₀(n) је број делитеља од n, укључујући 1 и n.

${\displaystyle {\begin{alignedd(n)&={\frac {\log 1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log 2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log 3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \\-d(n)(2\gamma +\log n)&={\frac {\log ^{2}1}{1}}c_{1}(n)+{\frac {\log ^{2}2}{2}}c_{2}(n)+{\frac {\log ^{2}3}{3}}c_{3}(n)+\cdots \end{aligned}}}$

где је γ = 0.5772... Ојлер-Маскеронијева константа.

φ(n)

Ојлерова фи функција φ(n) је број позитивних целих бројева мањих од n и узајамно простих са n. Рамануџан дефинише њену генерализацију, ако је

${\displaystyle n=p_{1}^{a_{1}}p_{2}^{a_{2}}p_{3}^{a_{3}}\cdots }$

проста факторизација броја n, и s је комплексни број, нека је

${\displaystyle \varphi _{s}(n)=n^{s}(1-p_{1}^{-s})(1-p_{2}^{-s})(1-p_{3}^{-s})\cdots ,}$

тако да је φ₁(n) = φ(n) Ојлерова функција.^[18]

Он доказује да је

${\displaystyle {\frac {\mu (n)n^{s}}{\varphi _{s}(n)\zeta (s)}}=\sum _{\nu =1}^{\infty }{\frac {\mu (n\nu )}{\nu ^{s}}}}$

и користи ово да покаже да је

${\displaystyle {\frac {\varphi _{s}(n)\zeta (s+1)}{n^{s}}}={\frac {\mu (1)c_{1}(n)}{\varphi _{s+1}(1)}}+{\frac {\mu (2)c_{2}(n)}{\varphi _{s+1}(2)}}+{\frac {\mu (3)c_{3}(n)}{\varphi _{s+1}(3)}}+\cdots .}$

За s = 1,

${\displaystyle \varphi (n)={\frac {6}{\pi ^{2}}}n\left(c_{1}(n)\frac {c_{2}(n)}{2^{21}}\frac {c_{3}(n)}{3^{21}}\frac {c_{5}(n)}{5^{21}}+{\frac {c_{6}(n)}{(2^{2}-1)(3^{2}-1)}}\frac {c_{7}(n)}{7^{21}}+{\frac {c_{10}(n)}{(2^{2}-1)(5^{2}-1)}}-\cdots \right).}$

Приметимо да је константа инверзна^[19] константи у формули за σ(n).

Λ(n)

Фон Манголтова функција Λ(n) = 0 осим ако је n = p^k степен простог броја, у ком случају је то природни логаритам log p.

${\displaystyle -\Lambda (m)=c_{m}(1)+{\frac {1}{2}}c_{m}(2)+{\frac {1}{3}}c_{m}(3)+\cdots }$

Нулта функција

За све n > 0,

${\displaystyle 0=c_{1}(n)+{\frac {1}{2}}c_{2}(n)+{\frac {1}{3}}c_{3}(n)+\cdots .}$

Ово је еквивалентно теореми о простим бројевима.^[20][21]

r_2s(n) (збирови квадрата)

r_2s(n) је број начина представљања n као збира 2s квадрата, рачунајући различите редоследе и знакове као различите (нпр., r₂(13) = 8, јер је 13 = (±2)² + (±3)² = (±3)² + (±2)².)

Рамануџан дефинише функцију δ_2s(n) и позива се на рад^[22] у којем је доказао да је r_2s(n) = δ_2s(n) за s = 1, 2, 3, и 4. За s > 4 он показује да је δ_2s(n) добра апроксимација за r_2s(n).

s = 1 има посебну формулу:

${\displaystyle \delta _{2}(n)=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}\cdots \right).}$

У следећим формулама знаци се понављају са периодом 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}+{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}+{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}+{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}+{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}+{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}+{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {4}}{\text{ и }}s>1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}$1\\[6pt]\delta _{2s}(n)&={\frac {\pi ^{s}n^{s-1}}{(s-1)!}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1^{s}}}-{\frac {c_{4}(n)}{2^{s}}}-{\frac {c_{3}(n)}{3^{s}}}-{\frac {c_{8}(n)}{4^{s}}}+{\frac {c_{5}(n)}{5^{s}}}-{\frac {c_{12}(n)}{6^{s}}}-{\frac {c_{7}(n)}{7^{s}}}-{\frac {c_{16}(n)}{8^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 3{\pmod {4}}\\\end{aligned}}}"/>

и стога,

${\displaystyle {\begin{aligned}r_{2}(n)&=\pi \left({\frac {c_{1}(n)}{1}}\frac {c_{3}(n)}{3}}+{\frac {c_{5}(n)}{5}{\frac {c_{7}(n)}{7}}+{\frac {c_{11}(n)}{11}}\frac {c_{13}(n)}{13}}+{\frac {c_{15}(n)}{15}{\frac {c_{17}(n)}{17}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{4}(n)&=\pi ^{2}n\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}\frac {c_{4}(n)}{4}}+{\frac {c_{3}(n)}{9}{\frac {c_{8}(n)}{16}}+{\frac {c_{5}(n)}{25}}\frac {c_{12}(n)}{36}}+{\frac {c_{7}(n)}{49}{\frac {c_{16}(n)}{64}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{6}(n)&={\frac {\pi ^{3}n^{2}}{2}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}\frac {c_{4}(n)}{8}{\frac {c_{3}(n)}{27}}\frac {c_{8}(n)}{64}}+{\frac {c_{5}(n)}{125}{\frac {c_{12}(n)}{216}}\frac {c_{7}(n)}{343}{\frac {c_{16}(n)}{512}}+\cdots \right)\\[6pt]r_{8}(n)&={\frac {\pi ^{4}n^{3}}{6}}\left({\frac {c_{1}(n)}{1}}+{\frac {c_{4}(n)}{16}}+{\frac {c_{3}(n)}{81}}+{\frac {c_{8}(n)}{256}}+{\frac {c_{5}(n)}{625}}+{\frac {c_{12}(n)}{1296}}+{\frac {c_{7}(n)}{2401}}+{\frac {c_{16}(n)}{4096}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

r′_2s(n) (збирови троугаоних бројева)

${\displaystyle r'_{2s}(n)}$ је број начина на које се n може представити као збир 2s троугаоних бројева (тј. бројева 1, 3 = 1 + 2, 6 = 1 + 2 + 3, 10 = 1 + 2 + 3 + 4, 15, ...; n-ти троугаони број је дат формулом n(n + 1)/2.)

Анализа је овде слична оној за квадрате. Рамануџан се позива на исти рад као и за квадрате, где је показао да постоји функција ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ таква да је ${\displaystyle r'_{2s}(n)=\delta '_{2s}(n)}$ за s = 1, 2, 3, и 4, и да је за s > 4, ${\displaystyle \delta '_{2s}(n)}$ добра апроксимација за ${\displaystyle r'_{2s}(n).}$

Опет, s = 1 захтева посебну формулу:

${\displaystyle \delta '_{2}(n)={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right).}$

Ако је s дељиво са 4,

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(n+{\frac {s}{4}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(n+{\frac {s}{4}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(n+{\frac {s}{4}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 0{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(2n+{\frac {s}{2}})}{1^{s}}}+{\frac {c_{3}(2n+{\frac {s}{2}})}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(2n+{\frac {s}{2}})}{5^{s}}}+\cdots \right)&&s\equiv 2{\pmod {4}}\\[6pt]\delta '_{2s}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{s}}{(s-1)!}}\left(n+{\frac {s}{4}}\right)^{s-1}\left({\frac {c_{1}(4n+s)}{1^{s}}}\frac {c_{3}(4n+s)}{3^{s}}}+{\frac {c_{5}(4n+s)}{5^{s}}\cdots \right)&&s\equiv 1{\pmod {2}}{\text{ и }}s>1\end{aligned}}}$1\end{aligned}}}"/>

Стога,

${\displaystyle {\begin{aligned}r'_{2}(n)&={\frac {\pi }{4}}\left({\frac {c_{1}(4n+1)}{1}}\frac {c_{3}(4n+1)}{3}}+{\frac {c_{5}(4n+1)}{5}{\frac {c_{7}(4n+1)}{7}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{4}(n)&=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{2}\left(n+{\frac {1}{2}}\right)\left({\frac {c_{1}(2n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(2n+1)}{9}}+{\frac {c_{5}(2n+1)}{25}}+\cdots \right)\\[6pt]r'_{6}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{3}}{2}}\left(n+{\frac {3}{4}}\right)^{2}\left({\frac {c_{1}(4n+3)}{1}}\frac {c_{3}(4n+3)}{27}}+{\frac {c_{5}(4n+3)}{125}\cdots \right)\\[6pt]r'_{8}(n)&={\frac {({\frac {\pi }{2}})^{4}}{6}}(n+1)^{3}\left({\frac {c_{1}(n+1)}{1}}+{\frac {c_{3}(n+1)}{81}}+{\frac {c_{5}(n+1)}{625}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Збирови

Нека је

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{q}(n)&=c_{q}(1)+c_{q}(2)+\cdots +c_{q}(n)\\U_{q}(n)&=T_{q}(n)+{\tfrac {1}{2}}\phi (q)\end{aligned}}}$

Тада за s > 1,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{-s}(1)+\cdots +\sigma _{-s}(n)&=\zeta (s+1)\left(n+{\frac {T_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {T_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {T_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\\&=\zeta (s+1)\left(n+{\tfrac {1}{2}}+{\frac {U_{2}(n)}{2^{s+1}}}+{\frac {U_{3}(n)}{3^{s+1}}}+{\frac {U_{4}(n)}{4^{s+1}}}+\cdots \right)\tfrac {1}{2}}\zeta (s)\\d(1)+\cdots +d(n)&=\frac {T_{2}(n)\log 2}{2}{\frac {T_{3}(n)\log 3}{3}{\frac {T_{4}(n)\log 4}{4}}-\cdots \\d(1)\log 1+\cdots +d(n)\log n&=\frac {T_{2}(n)(2\gamma \log 2-\log ^{2}2)}{2}{\frac {T_{3}(n)(2\gamma \log 3-\log ^{2}3)}{3}}\frac {T_{4}(n)(2\gamma \log 4-\log ^{2}4)}{4}\cdots \\r_{2}(1)+\cdots +r_{2}(n)&=\pi \left(n\frac {T_{3}(n)}{3}}+{\frac {T_{5}(n)}{5}{\frac {T_{7}(n)}{7}}+\cdots \right)\end{aligned}}}$

Види још

• Гаусов период
• Клостерманов збир