Сферни хармоници

Сферни хармоници у математици представљају угаони део решења Лапласове једначине у сферним координатама.

Сферне хармонике је први 1782. увео Пјер Симон Лаплас, а облика су:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

и решење су једначине:

${\displaystyle {\frac {1}{\sin {\theta }}}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin {\theta }{\frac {dY_{\ell }^{m}}{d\theta }}\right)+(l(l+1)^{2}\sin(\vartheta )\mathrm {d} \vartheta =1}"/>$ па добијамо:

${\displaystyle \Theta _{lm}(\vartheta )={\sqrt {{\frac {2l+1}{2}}\cdot {\frac {(l-m)!}{(l+m)!}}}}\,\,P_{lm}(\cos \vartheta )}$

Исто тако треба да се нормира и по другом углу ${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }|\Phi _{m}(\varphi )|^{2}\mathrm {d} \varphi =1}$ , па се добија:

${\displaystyle \Phi _{m}(\varphi )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\exp(im\varphi ),\quad m\in \mathbb {Z} }$.

Заједничко угаоно решење је онда управо функција, коју називамо сферни хармоник:

${\displaystyle Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )={\sqrt {{(2\ell +1) \over 4\pi }{(\ell -m)! \over (\ell +m)!}}}\,P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })\,e^{im\varphi }}$

Нека својства

Сферни хармоници су ортогонални:

${\displaystyle \int _{\theta =0}^{\pi }\int _{\varphi =0}^{2\pi }Y_{\ell }^{m}\,Y_{\ell '}^{m'*}\,d\Omega =\delta _{\ell \ell '}\,\delta _{mm'},}$.

Задовољавају релацију потпуности:

${\displaystyle \sum _{l=0}^{\infty }\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ')\,Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )=\delta (\varphi -\varphi ')\delta (\cos {\vartheta \cos {\vartheta '})}$

Осим тога у случају трансформација вреди:

${\displaystyle Y_{lm}(\pi -\vartheta ,\pi +\varphi )=(-1)^{l}\cdot Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )}$

${\displaystyle Y_{l,-m}(\vartheta ,\varphi )=(-1)^{m}\cdot Y_{lm}^{*}(\vartheta ,\varphi )}$

Интеграл три сферна хармоника дат је преко 3-jm симбола:

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int Y_{l_{1}m_{1}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{2}m_{2}}(\theta ,\varphi )Y_{l_{3}m_{3}}(\theta ,\varphi )\,\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi \\&={\sqrt {\frac {(2l_{1}+1)(2l_{2}+1)(2l_{3}+1)}{4\pi }}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\[8pt]0&0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}l_{1}&l_{2}&l_{3}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}\end{pmatrix}}\end{aligned}}}$

где су ${\displaystyle l_{1}}$, ${\displaystyle l_{2}}$ and ${\displaystyle l_{3}}$ цели бројеви.

Адициона теорема

Претпоставимо да су два јединична вектора ${\displaystyle \mathbf {x} }$ и ${\displaystyle \mathbf {x} '}$ предстaвљена у сферним кординатама ${\displaystyle (\vartheta ,\,\varphi )}$ односно ${\displaystyle (\vartheta ',\,\varphi ')}$. Угао између два вектора је онда:

${\displaystyle \cos \gamma =\cos \vartheta \cos \vartheta '+\sin \vartheta \sin \vartheta '\cos(\varphi -\varphi ')\,.}$

Адиционa теоремa за сферне хармонике је:

${\displaystyle P_{l}(\cos \gamma )={\frac {4\pi }{2l+1}}\sum _{m=-l}^{l}Y_{lm}(\vartheta ,\varphi )Y_{lm}^{*}(\vartheta ',\varphi ').}$

За случај када се ради о истом вектору добија се:

${\displaystyle \sum _{m=-\ell }^{\ell }Y_{\ell m}^{*}(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell m}(\theta ,\varphi )={\frac {2\ell +1}{4\pi }}}$

Развој по сферним хармоницима

Пошто сферни хармоници чине потпун скуп опртонормалних функција функције могу да се развију преко њих:

${\displaystyle f(\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}\,Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).}$

а коефицијенти су:

${\displaystyle f_{\ell }^{m}=\int _{\Omega }f(\theta ,\varphi )\,Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi )\,d\Omega =\int _{0}^{2\pi }d\varphi \int _{0}^{\pi }\,d\theta \,\sin \theta f(\theta ,\varphi )Y_{\ell }^{m*}(\theta ,\varphi ).}$

Табела неких сферних хармоника

Првих неколико сферних хармоника

Ylm	l = 0	l = 1	l = 2	l = 3
m = -3				${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{-3i\varphi }}$
m = −2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{-2i\varphi }}$
m = −1		${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{-i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta 1\right)\,e^{-i\varphi }}$
m = 0	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {1}{4\pi }}}}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {3}{4\pi }}}\cos {\vartheta }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {5}{16\pi }}}\left(3\cos ^{2}{\vartheta 1\right)}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {7}{16\pi }}}\left(5\cos ^{3}{\vartheta }-3\cos {\vartheta }\right)}$
m = 1		${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {3}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,e^{i\varphi }}$	${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {15}{8\pi }}}\sin {\vartheta }\,\cos {\vartheta }\,e^{i\varphi }}$	${\displaystyle \sqrt {\tfrac {21}{64\pi }}}\sin {\vartheta }\left(5\cos ^{2}{\vartheta 1\right)\,e^{i\varphi }}$
m = 2			${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {15}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\,e^{2i\varphi }}$	${\displaystyle {\sqrt {\tfrac {105}{32\pi }}}\sin ^{2}{\vartheta }\cos {\vartheta }\,e^{2i\varphi }}$
m = 3				${\displaystyle -{\sqrt {\tfrac {35}{64\pi }}}\sin ^{3}{\vartheta }\,e^{3i\varphi }}$

Литература

• Сферни хармоници
• Courant, Richard; Hilbert, David (1962), Methods of Mathematical Physics, Volume I, Wiley-Interscience.
• Edmonds, A.R. (1957). Angular Momentum in Quantum Mechanics. Princeton University Press. 0-691-07912-9.
• Eremenko, Alexandre; Jakobson, Dmitry; Nadirashvili, Nikolai (2007), „On nodal sets and nodal domains on ${\displaystyle S^{2}}$ and ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$”, Université de Grenoble. Annales de l'Institut Fourier, 57 (7): 2345—2360, ISSN 0373-0956, MR2394544
• MacRobert, T.M. (1967), Spherical harmonics: An elementary treatise on harmonic functions, with applications, Pergamon Press.
• Meijer, Paul Herman Ernst; Bauer, Edmond (2004). Group theory: The application to quantum mechanics. Dover. ISBN 978-0-486-43798-9..
• Solomentsev, E.D. (2001). „Spherical harmonics”. Ур.: Hazewinkel Michiel. Encyclopaedia of Mathematics. Springer. 978-1556080104..
• Stein, Elias; Weiss, Guido (1971). Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9..
• Unsöld, Albrecht (1927), „Beiträge zur Quantenmechanik der Atome”, Annalen der Physik, 387 (3): 355—393, Bibcode:1927AnP...387..355U, doi:10.1002/andp.19273870304.
• Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1927), A Course of Modern Analysis, Cambridge University Press, стр. 392.

• E.W. Hobson, The Theory of Spherical and Ellipsoidal Harmonics, (1955) Chelsea Pub. Co. 978-0-8284-0104-3.
• C. Müller, Spherical Harmonics, (1966) Springer, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 17. 978-3-540-03600-5.
• E. U. Condon and G. H. Shortley, The Theory of Atomic Spectra, (1970) Cambridge at the University Press, 0-521-09209-4, See chapter 3.
• J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, 0-471-30932-X
• Albert Messiah, Quantum Mechanics, volume II. (2000) Dover. 0-486-40924-4.
• Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). „Section 6.7. Spherical Harmonics”. Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd изд.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.
• D. A. Varshalovich, A. N. Moskalev, V. K. Khersonskii Quantum Theory of Angular Momentum,(1988) World Scientific Publishing Co., Singapore, 9971-5-0107-4