Eksponencijalna raspodela

U teoriji verovatnoće i statistici, eksponencijalna raspodela (pozanta kao negativna eksponencijalna raspodela) je raspodela verovatnoće vremena između događaja u Poasonovom procesu,^[1][2] i.e., procesu u kome se događaji kontinuirano i nezavisno javljaju sa konstantnom prosečnom brzinom. To je poseban slučaj gama distribucije. Eksponencijalna distribucija je kontinuirani analog geometrijske distribucije i ima ključno svojstvo da je bez memorije. Pored toga što se koristi za analizu Poasonovih tačkastih procesa, ona se javlja u mnoštvu drugih konteksta.

Eksponencijalna

Funkcija gustine verovatnoće
Funkcija kumulativne raspodele
Parametri	λ > 0 stopa, ili inverzna skala
Nositelj	x ∈ [0, ∞)
PDF	λ e−λx
CDF	1 − e−λx
Kvantil	−ln(1 − F) / λ
Prosek	λ−1 (= β)
Medijana	λ−1ln(2)
Modus	0
Varijansa	λ−2 (= β2)
Koef. asimetrije	2
Kurtoza	6
Entropija	1 − ln(λ)
MGF	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -t}},{\text{ for }}t<\lambda }$
CF	${\displaystyle {\frac {\lambda }{\lambda -it}}}$
Fišerova informacija	${\displaystyle \lambda ^{-2}}$
Kulbek-Lajblerova divergencija	${\displaystyle D_{KL}(\exp _{0}\parallel \exp _{1})=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1}$

Eksponencijalna distribucija nije isto što i klasa eksponencijalne familije distribucija, koja je velika klasa distribucija verovatnoće kojom je obuhvaćena eksponencijalna distribucija kao jedan od njenih članova, ali takođe uključuje normalnu distribuciju, binomnu distribuciju, gama distribuciju, Poasonovu, i mnoge druge.

Karakterizacija

Funkcija gustine verovatnoće

Funkcija gustine verovatnoće eksponencijalne distribucije je

${\displaystyle f(x;\lambda )={\begin{cases}\lambda e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

Alternativno, ovo se može definisati korišćenjem desne-kontinuirane Hevisajdove odskočne funkcije, H(x) gde je H(0) = 1:^[3][4]

${\displaystyle f(x;\lambda )=\lambda e^{-\lambda x}H(x)}$

Ovde je λ > 0 parameter distribucije, koji se obično naziva parametar brzine. Distribucija je podržana na intervalu [0, ∞). Ako slučajna promenljiva X ima ovu distribuciju, piše se X ~ Exp(λ).

Eksponencijalna distribucija ispoljava beskonačnu deljivost.

Funkcija kumulativne distribucije

Funkcija kumulativne distribucije je data sa

${\displaystyle F(x;\lambda )={\begin{cases}1-e^{-\lambda x}&x\geq 0,\\0&x<0.\end{cases}}}$

Alternativno, ovo se može definisati koristeći Hevisajdovu odskočnu funkciju, H(x).

${\displaystyle F(x;\lambda )=\mathrm {(} 1-e^{-\lambda x})H(x)}$

Alternativna parametrizacija

Najčešće korišćena alternativna parametrizacija je putem definisanja funkcije gustine verovatnoće (pdf) eksponencijalne distribucije kao što je

${\displaystyle f(x;\beta )={\begin{cases}{\frac {1}{\beta }}e^{ = \\frac{1 - \\ln(2)}{\\lambda} < \\frac{1}{\\lambda} = \\operatorname{\\sigma}[X],"}}' id="mwmg">$$${\displaystyle \left|\operatorname {E} \left[X\right]-\operatorname {m} \left[X\right]\right|={\frac {1-\ln(2)}{\lambda }}<{\frac {1}{\lambda }}=\operatorname {\sigma } [X],}$$

u skladu sa srednjom vrednosti nejednakost.

Svojstvo nepamćenja eksponencijalne slučajne promenljive

Eksponencijalno raspoređena slučajna promenljiva T poštuje odnos $${\displaystyle \Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)=\Pr(T>t),\qquad \forall s,t\geq 0.}$$

Ovo se može videti ako se uzme u obzir komplementarna kumulativna funkcija distribucije: $${\displaystyle {\begin{aligned}\Pr \left(T>s+t\mid T>s\right)&={\frac {\Pr \left(T>s+t\cap T>s\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {\Pr \left(T>s+t\right)}{\Pr \left(T>s\right)}}\\[4pt]&={\frac {e^{-\lambda (s+t)}}{e^{-\lambda s}}}\\[4pt]&=e^{-\lambda t}\\[4pt]&=\Pr(T>t).\end{aligned}}}$$

Kada se T tumači kao vreme čekanja da se događaj desi u odnosu na neko početno vreme, ova relacija implicira da, ako je T uslovljeno neuspehom da se posmatra događaj tokom nekog početnog vremenskog perioda s, distribucija preostalog vremena čekanja je isto što i originalna bezuslovna raspodela. Na primer, ako se događaj nije dogodio nakon 30 sekundi, uslovna verovatnoća da će za događaj biti potrebno još najmanje 10 sekundi jednaka je bezuslovnoj verovatnoći posmatranja događaja više od 10 sekundi nakon početnog vremena.

Eksponencijalna raspodela i geometrijska raspodela su jedine raspodele verovatnoće bez memorije.

Eksponencijalna raspodela je stoga nužno i jedina kontinuirana raspodela verovatnoće koja ima konstantnu stopu neuspeha.

Kvantili

Tukijevi kriterijumi za anomalije.

Funkcija kvantila (inverzna kumulativna funkcija raspodele) za Exp(λ) je $${\displaystyle F^{-1}(p;\lambda )={\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }},\qquad 0\leq p<1}$$

Prema tome, kvartili su:

• prvi kvartil: ln(4/3)/λ
• medijana: ln(2)/λ
• treći kvartil: ln(4)/λ

Kao posledica toga, interkvartilni opseg je ln(3)/λ.

Uslovna vrednost pod rizikom (očekivani nedostatak)

Uslovna vrednost pod rizikom (CVaR) takođe poznata kao očekivani nedostatak ili superkvantil za Exp(λ) se izvodi na sledeći način:^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {q}}_{\alpha }(X)&={\frac {1}{1-\alpha }}\int _{\alpha }^{1}q_{p}(X)dp\\&={\frac {1}{(1-\alpha )}}\int _{\alpha }^{1}{\frac {-\ln(1-p)}{\lambda }}dp\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{1-\alpha }^{0\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}\int _{0}^{1-\alpha }\ln(y)dy\\&={\frac {-1}{\lambda (1-\alpha )}}[(1-\alpha )\ln(1-\alpha )-(1-\alpha )]\\&={\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}\\\end{aligned}}}$$

Buferovana verovatnoća prekoračenja (bPOE)

Baferovana verovatnoća prekoračenja je jedan minus nivo verovatnoće na kome je CVaR jednak pragu ${\displaystyle x}$. Izvodi se na sledeći način:^[6]

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {p}}_{x}(X)&=\{1-\alpha |{\bar {q}}_{\alpha }(X)=x\}\\&=\{1-\alpha |{\frac {-\ln(1-\alpha )+1}{\lambda }}=x\}\\&=\{1-\alpha |\ln(1-\alpha )=1-\lambda x\}\\&=\{1-\alpha |e^{\ln(1-\alpha )}=e^{1-\lambda x}\}=\{1-\alpha |1-\alpha =e^{1-\lambda x}\}=e^{1-\lambda x}\end{aligned}}}$$

Kulback–Liblerova divergencija

Usmerena Kulbak–Liblerova divergencija u natima od ${\displaystyle e^{\lambda }}$ („približna「 distribucija) od ${\displaystyle e^{\lambda _{0}}}$ („prava「 distribucija) daje $${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\lambda _{0}\parallel \lambda )&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {p_{\lambda _{0}}(x)}{p_{\lambda }(x)}}\right)\\&=\mathbb {E} _{\lambda _{0}}\left(\log {\frac {\lambda _{0}e^{\lambda _{0}x}}{\lambda e^{\lambda x}}}\right)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )-(\lambda _{0}-\lambda )E_{\lambda _{0}}(x)\\&=\log(\lambda _{0})-\log(\lambda )+{\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}-1.\end{aligned}}}$$

Maksimalna raspodela entropije

Među svim kontinuiranim raspodelama verovatnoće sa podrškom na [0, ∞) i srednjom vrednošću μ, eksponencijalna raspodela sa λ = 1/μ ima najveću diferencijalnu entropiju. Drugim rečima, to je maksimalna distribucija verovatnoće entropije za slučajnu promenljivu X koja je veća ili jednaka nuli i za koju je E[X] fiksno.^[7]