Имагинарни број

У математици, имагинарни број је комплексни број чији је квадрат негативан реалан број. Имагинарни бројеви имају облик ${\displaystyle bi}$,^{[note 1]} гдје је ${\displaystyle b}$ реалан број различит од нуле и ${\displaystyle i}$ имагинарна јединица за коју важи: ${\displaystyle i^{2}=-1}$.^[1][2] Квадрат имагинарног броја bi је −b². На пример, 5i је имагинарни број, а његов квадрат је −25. По дефиницији, нула се сматра и реалном и имагинарном.^[3]

Све степени од i претпостављају вредности из плаве области

i−3 = i

i−2 = −1

i−1 = −i

i0 = 1

i1 = i

i2 = −1

i3 = −i

i4 = 1

i5 = i

i6 = −1

i је 4. корен јединице

Првобитно скован у 17. веку од стране Ренеа Декарта^[4] у дерогативном контексту и сматран измишљеним или бескорисним, овај концепт је стекао широку прихваћеност након радова Леонхарда Ојлера (у 18. веку) и Огистена Луја Кошија и Карла Фридриха Гауса (почетком 19. века).

Имагинарни број ${\displaystyle bi}$ може бити додат уз реалан број, формирајући тако комплексни број ${\displaystyle z}$ облика ${\displaystyle z=a+bi}$, код којег је ${\displaystyle a}$ „реалан део「, а ${\displaystyle bi}$ је „имагинарни део「. Имагинарни бројеви се дакле могу сматрати као комплексни бројеви код којих је „реалан део「 нула.^[5]

Историја

Илустрација комплексне равни. Имагинарни бројеви су на вертикалној координатној оси.

Грчки математичар Херон из Александрије наводи се као први који је приметио имагинарне бројеве.^[6][7] Рафаел Бомбели је 1572. године дефинисао скуп ових бројева и основне операције са њима. У то време, имагинарне бројеве су појединци сматрали као фиктивне и беспотребне. Многи други математичари су били спори у томе да прихвате употребу имагинарних бројева, као што је био Рене Декарт који је погрдно писао о њима у свом раду „Геометрија「.^[8][9] Декарт је био први који је употребио појам „имагинаран број「 1637. године. Ова идеја није била широко прихваћена све до радова Леонарда Ојлера (1707-1783) и Карла Фридриха Гауса (1777-1855). Геометријску значајност комплексних бројева је први пронашао Каспар Весел (1745-1818).^[10]

Године 1843, Вилијам Роуан Хамилтон је проширио идеју осе имагинарних бројева у равни на четвородимензионални простор кватерниона имагинарија у коме су три димензије аналогне имагинарним бројевима у комплексном пољу.

Геометријска репрезентација

Комплексни конјугат

Ротација за 90 степени у комплексној равни

Геометријски гледано, имагинарни бројеви се налазе на вертикалној оси на комплексној равни. Код броја 0 на ${\displaystyle x}$-оси, може се нацртати ${\displaystyle y}$-оса са позитивним правцем нагоре. Позитивни имагинарни бројеви се повећавају према горе, док се негативни смањују према доле. Ова вертикална оса се често назива имагинарна оса и означава се као "${\displaystyle i\mathbb {R} }$", "${\displaystyle \mathbb {I} }$" или једноставно као "Im".^[11] and is denoted ${\displaystyle i\mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle \mathbb {I} ,}$ or ℑ.^[12]

У овој репрезентацији множење са -1 је једнако ротацији од 180 степени у односу на координатни почетак. Множење са ${\displaystyle i}$ је једнако ротацији од 90 степени у "позитивном" правцу (у правцу супротном правцу казаљке на сату). Једначина ${\displaystyle i^{2}=-1}$ се интерпретира као две ротације од 90 степени у односу на координатни почетак, што је исти резултат као једна ротација од 180 степени. Треба запазити да ротација од 90 степени у негативном правцу (правцем казаљке на сату) исто задовољава ову интерпретацију. Ово потврђује чињеницу да ${\displaystyle -i}$ такође решење једначине ${\displaystyle x^{2}=-1}$.

Множење комплексним бројем је исто као ротирање око координатног почетка помоћу аргумента комплексног броја, након чега следи скалирање по његовој магнитуди.^[13]

Степеновање имагинарне јединице

Степеновање имагинарног броја ${\displaystyle i}$ се кружно понавља. Ово се може видети у следећем примеру где ${\displaystyle n}$ представља било који број:

• ${\displaystyle i^{4n}=1}$,
• ${\displaystyle i^{4n+1}=i}$,
• ${\displaystyle i^{4n+2}=-1}$,
• ${\displaystyle i^{4n+3}=-i.}$,

Ово доводи до закључка да је ${\displaystyle i^{n}=i^{n{\bmod {4}}}}$.

Квадратни корени негативних бројева

Неопходно је обратити пажњу када се ради са имагинарним бројевима који су изражени као главне вредности квадратног корена негативних бројева:^[14]

${\displaystyle 6={\sqrt {36}}={\sqrt {(-4)(-9)}}\neq {\sqrt {-4}}{\sqrt {-9}}=(2i)(3i)=6i^{2}=-6.}$

То се понекад пише као:

${\displaystyle -1=i^{2}={\sqrt {-1}}{\sqrt {-1}}{\stackrel {\text{ (fallacy) }}{=}}{\sqrt {(-1)(-1)}}={\sqrt {1}}=1.}$

Заблуда се јавља као једнакост ${\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}$ није остварива када променљиве нису на одговарајући начин ограничене. У том случају, једнакост не важи јер су оба броја негативна, што се може показати на следећи начин:

${\displaystyle {\sqrt {-x}}{\sqrt {-y}}=i{\sqrt {x}}\ i{\sqrt {y}}=i^{2}{\sqrt {x}}{\sqrt {y}}=-{\sqrt {xy}}\neq {\sqrt {xy}},}$

где су x и y позитивни реални бројеви.

Види још

• Имагинарна јединица
• Комплексни број

Напомене

1. j is usually used in engineering contexts where i has other meanings (such as electrical current)