Kategorija (matematika)

U matematici, kategorija (ponekad zvana apstraktna kategorija da bi se razlikovala od konkretne kategorije^[1][2][3]) je kolekcija „objekata” koji su povezani „strelicama”. Kategorija ima dva osnovna svojstva: sposobnost asocijativnog sastavljanja strelica i postojanje strelice identiteta za svaki objekata. Jednostavni primer je kategorija skupova, čiji su objekti skupovi i čije su strelice funkcije.

Ovo je kategorija sa kolekcijom objekata i kolekcijom morfizama označenih , a petlje su strelice identiteta. Ova kategorija se tipično označava podebljavanjem 3.

Teorija kategorija je grana matematike koja nastoji da generalizuje svu matematiku u smislu kategorija, nezavisno od toga šta predstavljaju njihovi objekti i strelice. Skoro svaka grana savremene matematike može se opisati kategorijama i to često otkriva duboke uvide i sličnosti između naizgled različitih područja matematike. Kao takva, teorija kategorija pruža alternativnu osnovu za matematiku teorije skupova i druge predložene aksiomatske temelje. Generalno, objekti i strelice mogu biti apstraktni entiteti bilo koje vrste, a pojam kategorije pruža fundamentalan i apstraktan način za opisivanje matematičkih entiteta i njihovih odnosa.

Pored formalizacije matematike, teorija kategorija se takođe koristi za formalizaciju mnogih drugih sistema u računarskoj nauci, kao što je semantika programskih jezika.^[4][5][6]

Dve kategorije su iste ako imaju istu kolekciju objekata, istu kolekciju strelica i istu asocijativnu metodu sastavljanja bilo kojeg para strelica. Dve različite kategorije mogu se takođe smatrati „ekvivalentnim” za potrebe teorije kategorija, čak i ako nemaju potpuno istu strukturu.

Dobro poznate kategorije su označene kratkom rečju velikog početnog slova ili skraćenicom u zadebljanom ili kurzivnom formatu: primeri uključuju Skup, kategoriju skupova i funkcije skupova; Prsten, kategoriju prstenova i homomorfizme prstenova; i Top, kategoriju topoloških prostora i kontinuiranih mapa. Sve prethodne kategorije imaju identifikacijsku mapu kao strelice identiteta i kompoziciju kao asocijativnu operaciju na strelicama.

Klasičan i još uvek često korišten tekst u teoriji kategorija je Kategorije za radnog matematičara autora Sondersa Maka Lejna. Ostale reference su date ispod u navedenoj literaturi. Osnovne definicije u ovom članku su sadržane u prvih nekoliko poglavlja bilo koje od tih knjiga.

Bilo koja mnogostrukost se može shvatiti kao posebna vrsta kategorije (sa pojedinačnim objektom čiji su samomorfizmi predstavljeni elementima monoida), a to važi iz svaki preporedak.

Istorija

Teorija kategorija se prvi put pojavila u članku sa naslovom „Opšta teorija prirodnih ekvivalencija”, koji su napisali Samjuel Ejlenberg i Sonders Mak Lejn 1945. godine^[7]

Definicija

Postoji mnogo ekvivalentnih definicija kategorije.^[8] Jedna najčešće korišćena definicija je sledeća. Kategorija C se sastoji od

• klase objekata
• klase morfizama, ili strelica, ili mapa, između objekata. Svaki morfizam ima izvorni objekat i ciljni objekat pri čemu su i u . Piše se , i čita „ je morfizam od do ”. Piše se (ili ) kad može da postoji konfuzija u pogledu toga na koju kategoriju se odnosi) da bi se označila hom-klasa svih morfizama od do . (Neki autori umesto toga pišu ili jednostavno .)
• za svaka tri objekta i , binarna operacija se naziva kompozicija morfizama; kompozicija i se piše kao . (Neki autori koriste „dijagramatski redosled”, pišući ili .)

tako da važe sledeći aksiomi:

• (asocijativnost) ako i onda , i
• (identitet) za svaki objekat x, postoji morfiuam 1_x : x → x (neki autori pišu _x) zvani morfizam identiteta za x, tako da za svaki morfizam i svaki morfizam , važi i .

Iz ovih aksioma se može dokazati da za svaki objekat postoji tačno jedan morfizam identiteta. Neki autori koriste malu varijaciju definicije u kojoj je svaki objekt identifikovan sa odgovarajućim morfizmom identiteta.