Нормална подгрупа

У апстрактној алгебри, области математике, нормална подгрупа је посебна врста подгрупе. Нормалне подгрупе су важне зато што се користе у конструкцији количничких група из дате групе.

Еварист Галоа је први схватио важност и постојање нормалних подгрупа.

Дефиниције

Подгрупа групе се назива нормалном подгрупом ако је инваријантна у односу на конјугацију; то јест, за сваки елемент из и свако из , елемент је и даље у . Пишемо

${\displaystyle N\triangleleft G.}$

Следећи услови су еквивалентни услови како би подгрупа била нормална у . Било који од њих се може узети као дефиниција:

1. За све из , .
2. За све из , .
3. Скупови левих и десних косета у коинцидирају.
4. За свако из , .
5. је унија класа конјугације .
6. Постоји хомоморфизам на за који је језгро.

Треба имати у виду да је услов (1) логички слабији од услова (2), а услов (3) је логички слабији од услова (4). Због овога, услови (1) и (3) се обично користе да докажу да је нормална у , а услови (2) и (4) се користе да докажу последице нормалности у .

Примери

• {} и су увек нормалне подгрупе од . Ако су ово и једине нормалне подгрупе, онда се каже да је проста.
• Центар групе је нормална подгрупа.
• Комутаторна подгрупа је нормална подгрупа.
• Општије, свака карактеристична подгрупа је нормална, јер је конјугација увек аутоморфизам.
• Све подгрупе Абелове групе су нормалне, јер . Група која није Абелова, али чија је свака подгрупа нормална се назива Хамилтоновом групом.
• Транслациона група у било којој димензији је нормална подгрупа Еуклидове групе; на пример тродимензионална ротација, транслација и ротација назад су исти као проста транслација; такође, рефлексија, транслација и поновна рефлексија су исти као проста транслација (транслација виђена у огледалу изгледа као транслација са рефлектованим транслационим вектором). Транслације за дату раздаљину у било ком смеру формирају класу конјугације; транслациона група је њихова унија за све раздаљине.

Својства

• Нормалност је очувана у сурјективним хомоморфизмима, као и у инверзним сликама.
• Нормалност је очувана у директним производима
• Нормална подгрупа нормалне подгрупе дате групе не мора да буде нормална у групи. То јест, нормалност није транзитивна релација. Међутим, карактеристична подгрупа нормалне подгрупе је нормална. Такође, нормална подгрупа централног фактора је нормална. Специјално, нормална подгрупа директног фактора је нормална.
• Свака подгрупа индекса 2 је нормална. Општије, подгрупа коначног индекса у садржи подгрупу нормалну у чији индекс дели !. Ако је најмањи прост делилац реда од , тада је свака подгрупа индекса нормална.

Нормалне подгрупе и хомоморфизми

Нормалне подгрупе су значајне, јер ако је нормална, тада се може формирати количничка група : ако је нормално, можемо да дефинишемо множење на косетима као

Ово претвара скуп косета у групу која се назива количничком групом . Постоји природни хомоморфизам дефинисан као . Слика се састоји само од неутрала , косет .

Уопштено, хомоморфизам група слика подгрупе од у подгрупе од . Такође, пре-слика сваке подгрупе од је подгрупа од . Пре-слику тривијалне групе {} из називамо језгром (кернелом) хомоморфизма и означавамо га као . Испоставља се да је језгро увек нормално, и да је слика од увек изоморфна са (прва теорема о изоморфизму). У ствари, ова кореспонденција је бијекција између скупа свих количничких група од и скупа свих хомоморфних слика од (до на изоморфизам). Лако се покаже да је језгро количничког пресликавања, , само , па су нормалне подгрупе језгра хомоморфизама са доменом .

Литература

Види још

• Нормализатор
• Нормална срж
• Карактеристична подгрупа
• Идеал (теорија прстена)