Triangelolikheten

Triangelolikheten ^[1] är en matematisk olikhet enligt vilken längden av en viss sida i en triangel är mindre än(eller lika med) summan av längderna av de övriga sidorna men större än(eller lika med) differensen mellan dessa sidor (brukar kallas den omvända triangelolikheten).

Exempel på triangelolikheten

Den är giltig i en stor uppsättning rum, bland annat för de reella talen.

Normerat vektorrum

I ett normerat vektorrum V kan triangelolikheten skrivas

${\displaystyle \|\mathbf {x} +\mathbf {y} \|\leq \|\mathbf {x} \|+\|\mathbf {y} \|}$

för alla

${\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}$

Likhet gäller om och endast om x och y är parallella.

Reella tallinjen

Den reella tallinjen är ett normerat vektorrum med absolutbeloppet som norm. Triangelolikheten för de reella talen skrivs därmed som

${\displaystyle |x+y|\leq |x|+|y|}$

Här gäller likhet om x och y har samma tecken.

Komplexa talplanet

Inom komplex analys gäller olikheten

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|}$

med likhet om

${\displaystyle \arg(z_{1})=\arg(z_{2})}$.

Dessutom (se följdsatsen nedan) gäller

${\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\geq {\Big |}|z_{1}|-|z_{2}|{\Big |}}$

med likhet om

${\displaystyle \arg(z_{1})=-\arg(z_{2})}$.

Metriska rum

Triangelolikheten ingår som ett av de definierande axiomen för metriken d i ett metriskt rum ℳ.

Den innebär att summan av avståndet mellan två punkter p och q alltid är mindre eller lika med summan av avstånden mellan punkt p och en godtycklig punkt r, samt avståndet från r till q:

${\displaystyle d(p,q)\leq d(p,r)+d(r,q)}$

där d(p, q) betecknar avståndet mellan p och q. Funktionen d(p, q) : ℳ → ℝ kallas metriken, eller avståndsfunktionen. Notera att det är avståndet mellan två objekt som definierar rummet och inte tvärt om.

Följdsats

Ur triangelolikheten följer att

${\displaystyle {\Big |}\|\mathbf {x} \|-\|\mathbf {y} \|{\Big |}\leq \|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}$

och

${\displaystyle |d(p,r)-d(r,q)|\leq d(p,q)}$

vilket betyder att normen ||a|| och avståndsmåttet d(a,b) är Lipschitz-kontinuerliga och därmed även kontinuerliga.

Serier och integraler

Triangelolikheten har ett antal följdsatser.

Med induktion man kan visa att

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{n}x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{n}|x_{i}|}$

för x_i ∈ ℝ och n ∈ ℕ.

För absolutkonvergenta serier, det vill säga för

${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|\in [0,\infty )}$

finns en triangelolikhet:

${\displaystyle \left|\sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\right|\leq \sum _{i=1}^{\infty }|x_{i}|}$.

För en integral, exempelvis Riemannintegralen, kan man med definitionen av supremum och infimum visa att det finns en triangelolikhet

${\displaystyle \left|\int _{a}^{b}f(x)dx\right|\leq \int _{a}^{b}|f(x)|dx}$,

om f(x) är Riemannintegrerbar.

Se även

• Triangel
• Cauchy–Schwarz olikhet
• Pythagoras sats