From Wikipedia, the free encyclopedia
கணிதத்தில் அரைத்தொடர்ச்சி (semicontinuity) என்பது நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்புகளுக்கான பண்பாகும். ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்பு f ஆனது x0 என்ற புள்ளியில்:
இச்சார்பு, x0 = 0 இல் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது; ஆனால் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது அல்ல.
வலது அல்லது இடது தொடர்ச்சியற்ற சார்புகள், மேல் அல்லது கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானவையாக இருக்கலாம்.
எடுத்துக்காட்டுகள்:
இச்சார்பு x = 1 இல் இடது அல்லது வலது தொடர்ச்சியற்றதாக இருப்பினும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது. x = 1 இல் இச்சார்பின் இடப்பக்கமிருந்து எல்லைமதிப்பு 1 ஆகவும், வலப்பக்கமிருந்து அதன் எல்லைமதிப்பு 1/2 ஆகவும், அப்புள்ளியில் சார்பின் மதிப்பு 2 ஆகவும் உள்ளன. அதனால் இச்சார்பு x = 1 இல் இடது அல்லது வலது தொடர்ச்சியற்றது. எனினும் இப்புள்ளியில் மேல் தொடர்ச்சியானது.
x = 0 புள்ளியில் இச்சார்புக்கு இடது மற்றும் வலது எல்லை மதிப்புகள் இல்லையென்றாலும் இச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.
இடவியல் வெளி X இல் ஒரு புள்ளி x0. f : X → R ∪ {–∞,+∞} ஒரு நீட்டிக்கப்பட்ட மெய்-மதிப்புச் சார்பு.
என்றவாறு, ε > 0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி x0 இற்கு ஒரு அண்மையகம் U இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் f மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும்.
குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்:
சார்பு f, தனது ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α ∈ R க்கும் {x ∈ X : f(x) < α} என்ற கணம் திறந்த கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே அச்சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானது.
என்றவாறு, ε > 0 இன் ஒவ்வொரு மதிப்பிற்கும் புள்ளி x0 இற்கு ஒரு அண்மையகம் U இருக்குமானால் இப்புள்ளியில் f கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகும்.
குறிப்பாக ஒரு அளவை வெளிக்கு இதனைப் பின்வருமாறு தரலாம்:
சார்பு f, தனது ஆட்களத்தின் ஒவ்வொரு புள்ளியிலும் கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாக இருந்தால்தான் அது மேல் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பாகும். ஒவ்வொரு α ∈ R க்கும் {x ∈ X : f(x) > α} என்ற கணம் மூடிய கணமாக இருந்தால், இருந்தால் மட்டுமே, அச்சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானது.
இப்பொழுது f , ஒரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பு. அனைத்து fi சார்புகளும் தொடர்ச்சியான சார்புகளாக இருந்தாலும், f தொடர்ச்சியான சார்பாக இருக்க அவசியமில்லை.
ஒரு சீரான வெளியில் அமையும் ஒவ்வொரு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியான சார்பும் தொடர்ச்சியான சார்புகளின் தொடர்முறை ஒன்றின் மேன்மமாகவே அமைகின்றன.
குவிவு பகுப்பாய்வில் பெரும்பாலும் சுட்டுச் சார்பு என்பது குவிவுப் பகுப்பாய்வின் சிறப்பியல்புச் சார்பையே குறிக்கும் என்பதால் குவிவுப் பகுப்பாய்வில், ஒரு மூடிய கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு கீழ் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும், ஒரு திறந்த கணத்தின் சிறப்பியல்புச் சார்பு மேல் அரைத்தொடர்ச்சியானதாகவும் இருக்கும்.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.