அடுக்கேற்றம்

அடுக்கேற்றம் (Exponentiation) என்பது ஒரு கணிதச் செயல். இதை bⁿ என்று குறிப்பது வழக்கம். இதில், b என்பதை அடிமானம் அல்லது அடி எனவும், n ஐ அடுக்கு அல்லது படி எனவும் அழைப்பர். n நேர் முழு எண்ணாக இருக்கும்போது, அடுக்கேற்றம், b ஐ n தடவைகள் தொடர்ச்சியாகப் பெருக்குவதாக இருக்கும்.^[1]

${\displaystyle b^{n}=\underbrace {b\times \cdots \times b} _{n},}$

அடி b இன் வெவ்வேறு மதிப்புகளுக்கு y = b^x சார்பின் வரைபடம்:

10 அடிமானம்,

e அடிமானம்,

2 அடிமானம்,

1/2 இன் அடிமானம்.

எந்தவொரு எண்ணையும் 0 அடுக்குக்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 என்பதால் படத்திலுள்ள ஒவ்வொரு கோட்டுருவும் (0, 1) என்ற புள்ளி வழியேச் செல்கிறது. எந்தவொரு எண்ணின் அடுக்கும் 1 ஆக இருந்தால் அதன் மதிப்பு அதே எண்ணாக இருக்கும் என்பதால் x = 1 எனும்போது y இன் மதிப்பு அந்தந்த அடிமான எண்களுக்குச் சமமாக இருக்கிறது.

பொதுவாக அடுக்கானது, அடிமான எண்ணின் வலப்பக்கத்தில் மேலெழுத்தாகக் குறிக்கப்படும். bⁿ என்னும் அடுக்கேற்றத்தை b இன் n ஆவது அடுக்கு என்றோ, b இன் n ஆம் படி என்றோ வாசிப்பது வழக்கம்.^[1][2][3] சில இடங்களில் சில அடுக்கேற்றங்கள் அவற்றுக்கே உரிய தனியான சொற்களால் குறிப்பிடப்படுகின்றன. எடுத்துக்காட்டாக b இன் அடுக்கு இரண்டு (b²) என்பது b இன் வர்க்கம் எனவும், b இன் அடுக்கு 3 (b³) என்பது b இன் கனம் எனவும் குறிக்கப்படுகிறது.

• b¹ = b
• m, n இரு நேர்ம எண்களெனில்,

bⁿ ⋅ b^m = b^n+m.

இப்பண்பினை நேர்மமில்லா முழு எண்களுக்கும் நீட்டிக்கக் கீழுள்ள முடிவுகள் வரையறுக்கப்படுகின்றன:

b⁰ = 1

b⁻ⁿ = 1/bⁿ (n நேர்ம எண்; b பூச்சியமற்ற எண்) குறிப்பாக,

b⁻¹ = 1/b (b இன் பெருக்கல் நேர்மாறு).

மெய்யெண் மற்றும் சிக்கலெண் அடுக்குகளுக்கும் அடுக்கேற்றத்தை நீட்டிக்கலாம். முழு எண் அடுக்கேற்றமானது அணிகள் உட்பட பல இயற்கணித அமைப்புகளுக்கு வரையறுக்கப்படுகிறது. பொருளியல், உயிரியல், வேதியியல், இயற்பியல், கணினியியல் போன்ற பலதுறைகளில் அடுக்கேற்றம் பயன்படுகிறது.

சொல்லியல்

b அலகு பக்க நீளங்கொண்ட சதுரத்தின் பரப்பளவு b² ஆகும். எனவே b² = b ⋅ b என்பது " b இன் வர்க்கம் என அழைக்கப்படுகிறது. இதேபோல b பக்க நீளங்கொண்ட கனசதுரத்தின் கனவளவு b³ என்பதால் b³ = b ⋅ b ⋅ b ஆனது " b இன் கனம்" என அழைக்கப்படுகிறது.

அடுக்கு ஒரு இயல் எண்ணாக இருக்கும்போது அது, அடி எண்ணை மீண்டும் மீண்டும் எத்தனை முறை பெருக்கவேண்டும் என்பதைக் குறிக்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக,

3⁵ = 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 3 = 243.

3⁵ என்பது "3 இன் அடுக்கு 5" அல்லது 3 இன் 5 ஆம் அடுக்கு என வாசிக்கப்படுகிறது. பொதுவாக bⁿ என்பதுதை "b இன் n ஆம் அடுக்கு" என வாசிக்க வேண்டும்.

முழு எண் அடுக்குகள்

முழு எண் அடுக்குகளுடைய அடுக்கேற்றச் செயல் எண்கணிதச் செயல்களைக் கொண்டு வரையறுக்கப்படுகிறது.

நேர்ம அடுக்குகள்

${\displaystyle b^{1}=b}$ மற்றும் ${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$ ஆகிய இரு அடிப்படை முடிவுகளைக்கொண்டு நேர்ம முழுவெண் அடுக்கேற்றம் வரையறுக்கப்படுகிறது^[4]. மேலும் பெருக்கலின் சேர்ப்புப் பண்பின்படி கீழ்வரும் முடிவு பெறப்படுகிறது:

m, n இரு நேர்ம முழுவெண்களெனில்,

${\displaystyle b^{m+n}=b^{m}\cdot b^{n}.}$

பூச்சிய அடுக்கு

பூச்சியமற்ற எந்தவொரு முழுஎண்ணையும் அடுக்கு 0 க்கு உயர்த்தும்போது அதன் மதிப்பு 1 ஆகிறது:^[1][5]

${\displaystyle b^{0}=1.}$

எதிர்ம அடுக்குகள்

b பூச்சியமற்றது எனில் கீழ்வரும் முற்றொருமை உண்மையாகும்:

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}$ (n ஒரு முழுவெண்).^[1]

பூச்சியத்தை எதிர்ம அடுக்குக்கு உயர்த்துவது வரையறுக்கப்படவில்லை, சில சூழல்களில் அதன் மதிப்பு முடிவிலியாகக் (∞) கருதப்படுகிறது. இந்த முற்றொருமையைப் பின்னுள்ளவாறு வருவிக்கலாம்.

b பூச்சிய மதிப்பற்றது; n ஒரு நேர்ம முழு எண் எனில் கிடைக்கும் மீள்வரு தொடர்பு:

${\displaystyle b^{n+1}=b^{n}\cdot b.}$

இதனை மாற்றியெழுத:

${\displaystyle b^{n}={\frac {b^{n+1}}{b}},\quad n\geq 1.}$

எந்தவொரு பூச்சியமற்ற b மற்றும் முழுவெண் n இரண்டுக்கும் இம்மீள்வரும் தொடர்பை உண்மையானதாக வரையறுக்க:

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{0}&={\frac {b^{1}}{b}}=1,\\[3pt]b^{-1}&={\frac {b^{0}}{b}}={\frac {1}{b}},\end{aligned}}}$

${\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}.}$

முற்றொருமைகளும் பண்புகளும்

அடி எண் பூச்சியமற்றதாக இருக்கும்பொழுது எந்தவொரு முழுவெண் அடுக்கிற்கும் கீழுள்ள முற்றொருமைகள் பொருந்தும்:^[1]

${\displaystyle {\begin{aligned}b^{m+n}&=b^{m}\cdot b^{n}\\\left(b^{m}\right)^{n}&=b^{m\cdot n}\\(b\cdot c)^{n}&=b^{n}\cdot c^{n}\end{aligned}}}$

• அடுக்கேற்றச் செயல் பரிமாற்றுத்தன்மை கொண்டதில்லை. எடுத்துக்காட்டாக, :2³ = 8 ≠ 3² = 9.
• சேர்ப்புப் பண்பு கிடையாது. எடுத்துக்காட்டு:

(2³)⁴ = 8⁴ = 4096

2⁽³⁴⁾ = 2⁸¹ = 2417851639229258349412352.

• அடுக்கேற்றத்தில் அடைப்புக்குறிகள் தரப்படாமல் இருந்தால், மேலொட்டுக்களில் செயலியை அமல்படுத்தும் வரிசை முறை கீழிலிருந்து மேலாக (இடது சேர்ப்பு) இல்லாமல் மேலிருந்து கீழாக ( வலது- சேர்ப்பு) அமையும்.^[6]

^{[7] [8] [9]}

அதாவது:

${\displaystyle b^{p^{q}}=b^{\left(p^{q}\right)},}$

இது ${\displaystyle \left(b^{p}\right)^{q}=b^{pq}.}$ இலிருந்து வேறுபட்ட ஒன்றாகும்.