அண்ணளவாக்கம்

அண்ணளவாக்கம் (approximation) என்பது, ஒன்று, இன்னொன்றைத் துல்லியமாக ஒத்திருக்காவிடினும் ஓரளவுக்கு அதேபோல் இருப்பதைக் குறிக்கும். இந்தக் கலைச்சொல், பெறுமானம், கணியம், தோற்றம், விபரம் போன்ற பல்வேறு இயல்புகள் தொடர்பில் பயன்படுகிறது. எண்கள் தொடர்பாகவே இது பெரிதும் பயன்படுத்தப் பெற்றாலும், கணிதச் சார்புகள், வடிவங்கள், இயற்பியல் விதிகள் போன்றவற்றுக்கும் இக்கலைச்சொல்லைப் பயன்படுத்துகின்றனர். அறிவியலில், துல்லியமான மாதிரிகளையோ வழிமுறைகளையோ பயன்படுத்துவது கடினமாக இருக்கும்போது, எளிமைப்படுத்திய மாதிரிகளையோ வழிமுறைகளையோ இது குறிக்கக்கூடும். அண்ணளவாக்கிய மாதிரி கணித்தலையும் இலகுவாக்குகிறது. துல்லியமான பெயர்த்தீடுகளைப் பயன்படுத்துவதற்குப் போதிய தகவல்கள் இல்லாத வேளைகளிலும் அண்ணளவாக்கம் பயன்படும். எந்த அளவுக்கு அண்ணளவாக்கத்தைப் பயன்படுத்த முடியும் என்பது பல விடயங்களில் தங்கியுள்ளது. பெற்றுக்கொள்ளக்கூடிய தகவல்கள், தேவையான துல்லியத்தன்மையின் அளவு, அண்ணளவாக்கத்துக்கு உட்படும் தரவுகளினால் இறுதி விளைவில் ஏற்படக்கூடிய தாக்கம், நேரம் உழைப்புப் போன்றவற்றில் கிடைக்கக்கூடிய சேமிப்பு என்பன இவற்றுட் சில.

கணிதம்

அண்ணளவாக்கக் கோட்பாடு என்பது கணிதத்தின் ஒரு கிளை. இது சார்புப் பகுப்பாய்வின் கணியம் சார்ந்த பகுதி. டையோபன்டைன் அண்ணளவாக்கம் என்பது உண்மை எண்களை முழு எண்களுக்கு அண்ணளவாக்குவதைக் குறிக்கும். கணிதத்தில், துல்லியமான வடிவம் அல்லது எண் கிடைக்காதவிடத்து அல்லது அவற்றைப் பெற்றுக்கொள்வது கடினமாக இருக்கும்போதே பெரும்பாலும் அண்ணளவாக்கம் இடம்பெறுகிறது. துல்லியமான வடிவம் இருந்தாலும், இறுதி விளைவில் குறிப்பிடத்தக்க வேறுபாடு இருக்காது என்னும்போதும் அண்ணளவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது உண்டு. குறித்த எண் ஒரு உண்மை எண் இல்லாது இருக்கும்போதும் அண்ணணளவாக்கத்தைப் பயன்படுத்துவது வழக்கம். எடுத்துக்காட்டாக, π என்பதற்குப் பதிலாக 3.14159 என்பதும், √2 என்பதற்குப் பதிலாக 1.414 என்னும் எண்ணும் அண்ணளவாகப் பயன்படுவது உண்டு.

கணித்தலின் போது, குறைந்த எண்ணிக்கையான மதிப்புறு இலக்கங்களைப் பயன்படுத்தும் போதும் அண்ணளவாக்கம் ஏற்படும். கணிக்கும்போது முழுமையாக்கத் தவறுகள் ஏற்படுவது உண்டு. இதனாலும் அண்ணளவாக்கம் ஏற்பட வாய்ப்பு உள்ளது. மடக்கை அட்டவணைகள், வழுக்குச் சட்டம், கணிப்பான் போன்றவற்றைப் பயன்படுத்திக் கணிக்கும்போது, மிக எளிமையான கணிப்புகள் தவிர்ந்த பிற இடங்களில் இவை அண்ணவான விடைகளையே தருகின்றன. கணினி மூலம் செய்யப்படும் கணிப்புக்களின் பெறுபேறுகளும் அவை பயன்படுத்தும் மதிப்புறு இலக்கங்களின் எண்ணிக்கையில் தங்கியுள்ள அண்ணளவாக்கங்களே. ஆனாலும், கணினிகள் கூடிய துல்லியமான கணிப்புக்களைச் செய்யக்கூடிய வகையில் நிரலாக்கம் செய்ய முடியும்.^[1] ஒரு பதின்ம எண்ணை இரும எண் வடிவிலான முடிவுள்ள எண்ணாக மாற்ற முடியாத போதும் அண்ணளவாக்கம் நிகழும்.

சார்புகளில் அவற்றின் ஈற்றணுகுப் பெறுமானம் அண்ணளவாக்கத்துடன் தொடர்புடைய ஒன்று. சார்பின் ஒன்று அல்லது அதற்கு மேற்பட்ட கூறளவுகள் தற்போக்காய் பெரிதாகும்போது இது நிகழ்கிறது. எடுத்துக்காட்டாக (k/2)+(k/4)+(k/8)+...(k/2^n) என்னும் சார்பின் பெறுமானம் அண்ணளவாக k க்குச் சமம். கணிதவியலில், இவை தொடர்பில் ஒரே சீர்தரக் குறியீடுகள் பயன்படுத்தப்படுவது இல்லை. சிலர் ≈ என்பதை அண்ணளவாகச் சமம் என்பதற்குப் பதிலாகவும், ~ என்பதை ஈற்றணுகு முறைச் சமம் என்பதைக் குறிக்கவும் பயன்படுத்துகின்றனர். வேறு சில இடங்களில் இக்குறியீடுகள் மாறிப் பயன்படுவதையும் காணலாம்.

அறிவியல்

அறிவியல் பரிசோதனைகளில் இயல்பாகவே அண்ணளவாக்கம் ஏற்படுகிறது. அறிவியல் கோட்பாடுகளின் எதிர்வுகூறல்கள் உண்மையான அளவீடுகளில் இருந்து வேறுபடக்கூடும். உண்மையான நிலைமையில் இருக்கக்கூடிய காரணிகள் சிலவற்றைக் கோட்பாடுகள் உள்ளடக்காமல் இருப்பதே இதற்குக் காரணம். எடுத்துக்காட்டாக, எளிமையான கணிப்புகள் வளியின் தடையைக் கவனத்திற் கொள்ளாமல் இருக்கலாம். இவ்வாறான நிலைமைகளில் கோட்பாடுகள் உண்மை நிலையின் அண்ணளவாக்கங்களாகவே இருக்கின்றன. அளக்கும் நுட்பங்களில் இருக்கக்கூடிய குறைபாடுகளினாலும் வேறுபாடுகள் ஏற்படக்கூடும். இவ்வகையில் பெறப்படும் அளவுகள் உண்மைப் பெறுமானங்களின் அண்ணளவாக்கங்களாகவே இருக்கின்றன. முன்னைய கோட்பாடுகளும், விதிகளும் இன்னும் ஆழமான சில விதிகளின் அண்ணளவாக்கங்களாக இருக்கலாம் என்பதை அறிவியல் வரலாறு காட்டுகின்றது. ஒப்புமைக் கொள்கையின்படி புதிய கோட்பாடுகள், நன்கு நிலைபெற்ற பழைய கோட்பாடுகளுக்குப் பதிலாக, அவை செயற்படும் புலங்களில் செயற்பட வேண்டும்.^[2] பழைய கோட்பாடு, புதிய கோட்பாட்டின் அண்ணளவாக்கம் ஆகின்றது.

இயற்பியலில் உள்ள சில பிரச்சினைகள் நேரடியான பகுப்பாய்வுகளின்மூலம் தீர்ப்பதற்குச் சிக்கலானவையாக இருக்கின்றன அல்லது வழக்கில் உள்ள பகுப்பாய்வு வழிமுறைகள் மூலம் வரையறுக்கப்பட்ட அளவிலான முன்னேற்றத்தையே பெற முடிகிறது. அதனால், துல்லியமான பெயர்த்தீடுகள் கிடைக்கக்கூடும் ஆயினும், அண்ணளவாக்கத்தினால் பிரச்சினையின் சிக்கல்தன்மையைக் குறிப்பிடத்தக்க அளவு குறைப்பதன் மூலம் போதிய அளவு துல்லியமான தீர்வுகளைப் பெற்றுக்கொள்ள முடிகிறது. புவியின் வடிவத்தைக் கூடிய துல்லியத்துடன் பெயர்த்தீடு செய்ய முடியுமானாலும், இயற்பியலாளர்கள் பல்வேறு தேவைகளுக்கு அதை ஒரு கோள வடிவமாகவே அண்ணளவாக்கம் செய்துகொள்கின்றனர். புவியீர்ப்பு போன்ற பல இயல்புகளைப் புவியைக் கோளமாக எடுத்துக்கொள்வதனால் இலகுவாகக் கணிக்கலாம் என்பதே இதற்கான காரணம்.

விண்மீன்களைச் சுற்றுகின்ற கோள்களின் இயக்கங்களை ஆய்வு செய்வதற்கும் அண்ணளவாக்கம் பெரிதும் பயன்படுகின்றது. பல்வேறு கோள்கள் ஒன்றையொன்று ஈர்ப்பதனால் ஏற்படும் சிக்கலான இடைவினைகள் காரணமாக, இவற்றின் இயக்கங்களை ஆய்வு செய்வது மிகமிகக் கடினமானது.^[3] இதனால், மறுசெய்கை முறையைப் பயன்படுத்துவதன் மூலம் அண்ணளவான தீர்வு பெறப்படுகிறது. முதற் செய்கையின் போது, கோள்களின் ஈர்ப்பு விசையை கவனத்தில் கொள்ளாமலும், விண்மீன் நிலையாக இருப்பதாகவும் எடுத்துக்கொண்டு கணிக்கின்றனர். இன்னும் துல்லியமான பெறுபேறுகள் தேவைப்படுமிடத்து, முன்னைய கணிப்பினால் பெறப்பட்ட கோள்களின் நிலை, இயக்கம் என்பவற்றைப் பயன்படுத்தியும், ஒவ்வொரு கோளும் மற்றவற்றின்மீது கொண்டுள்ள முதல்வரிசை ஈர்ப்பு இடைவினைகளைக் கருத்தில் எடுத்தும் இன்னொரு கணிப்புச் செய்யப்படுகிறது. இவ்வாறு மேலும் செய்கைகளைத் திரும்பத் திரும்பச் செய்வதன் மூலம், தேவையான அளவு துல்லியத்துடனான விளைவைப் பெற முடியும்.