காலமுறைத் தொடர்வரிசை

கணிதத்தில், காலமுறைத் தொடர்வரிசை அல்லது காலமுறைத் தொடர்முறை (periodic sequence) என்பது ஒரே உறுப்பானது மீண்டும் மீண்டும் வருகின்ற ஒரு தொடர்வரிசை ஆகும். இத்தொடர் வரிசையானது சில சமயங்களில் "சுழல்" (cycle) அல்லது "வட்டணை" (orbit) எனவும் அழைக்கப்படுகிறது.

காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் வடிவம்:

a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p,  a₁, a₂, ..., a_p, ...

மீளும் உறுப்புகளின் எண்ணிக்கை p ஆனது தொடர்வரிசையின் "காலமுறை இடைவெளி" (period) (அதிர்வெண்) எனப்படும்.^[1]

வரையறை

p காலமுறை இடைவெளி கொண்ட ஒரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை a₁, a₂, a₃, ... ஆனது n இன் எல்லா நேர்ம முழுவெண் மதிப்புகளுக்கும்,

a_n+p = a_n என்ற முடிவை நிறைவுசெய்யும்.^[1][2][3]

இயல் எண் கணத்தை ஆட்களமாகக் கொண்ட சார்பாகத் தொடர்வரிசையைக் கருதினால், காலமுறைத் தொடர்வரிசையானது, காலமுறைச் சார்பின் சிறப்பு வகையாகும். p இன் எந்தவொரு மிகச்சிறிய மதிப்பிற்குத் தொடர்வரிசையானது p-காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக அமைகிறதோ அம்மதிப்பு "மிகச்சிறிய காலமுறை இடைவெளி"^[1] அல்லது மிகச்சரியான "காலமுறை இடைவெளி" எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டுகள்

• ஒவ்வொரு மாறிலிச் சார்பின் காலமுறை '1' ஆகும்.

${\displaystyle 1,2,1,2,1,2\dots }$ என்ற தொடர்வரிசையின் மிகச்சிறிய காலமுறை '2'.

1/7 இன் பதின்ம வடிவ விரிவு '6' காலமுறையளவுள்ள தொடர்வரிசை:

${\displaystyle {\frac {1}{7}}=0.142857\,142857\,142857\,\ldots }$

பொதுவாகவே, எந்தவொரு விகிதமுறு எண்ணின் பதின்ம பின்ன விரிவானது இறுதியில் சுழற்சியுள்ள தொடர்வரிசையாக இருக்கும்^[4]

-1 இன் அடுக்குகளின் தொடர்வரிசை '2' காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசையாகும்:

${\displaystyle -1,1,-1,1,-1,1,\ldots }$

எந்தவொரு ஒன்றின் படிமூலத்தின் அடுக்குகளாகவும் அமையும் தொடர்வரிசையானது காலமுறையானதாக இருக்கும். இதேபோல ஒரு குலத்தின் முடிவுறு வரிசைகொண்ட உறுப்புகளின் அடுக்குகளாக அமையும் தொடர்வரிசைகளும் காலமுறைத் தொடர்வரிசைகளாக இருக்கும்.

முற்றொருமைகள்

பகுதிக் கூட்டுத்தொகை

${\displaystyle \sum _{n=1}^{kp+m}a_{n}=k*\sum _{n=1}^{p}a_{n}+\sum _{n=1}^{m}a_{n},}$ k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.

பகுதிப் பெருக்கற்பலன்

${\displaystyle \prod _{n=1}^{kp+m}a_{n}=({\prod _{n=1}^{p}a_{n}})^{k}*\prod _{n=1}^{m}a_{n},}$ k, m<p இரண்டும் இயல் எண்கள்.

0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகள்

0, 1 காலமுறையுள்ள தொடர்வரிசைகளை முக்கோணவியல் சார்புகளின் கூட்டலாக எழுதலாம்:

${\displaystyle \sum _{k=1}^{1}\cos \left(-\pi {\frac {n(k-1)}{1}}\right)/1=1,1,1,1,1,1,1,1,1,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{2}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{2}}\right)/2=0,1,0,1,0,1,0,1,0,\cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{3}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{3}}\right)/3=0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,\cdots }$

${\displaystyle \cdots }$

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\cos \left(2\pi {\frac {n(k-1)}{N}}\right)/N=0,0,0,\cdots ,1,\cdots \quad {\text{sequence with period }}N}$

ஏற்ற [[ஒன்றின் படிமூலம்|ஒன்றின் படிமூலத்திற்கு, டி மாவரின் வாய்ப்பாட்டைப் பயன்படுத்தி மேலுள்ளவற்றை நிறுவலாம்.

பொதுவாக்கங்கள்

ஒரு தொடர்வரிசையின் துவக்கத்திலுள்ள சில எண்களை நீக்குவதன்மூலம் அதனைக் காலமுறையினதாக மாற்றக்கூடியதாக இருந்தால், அத்தொடர்வரிசையானது "இறுதியாகக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (eventually periodic sequence) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு:

1 / 56 = 0 . 0 1 7  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  8 5 7 1 4 2  ...

ஒரு தொடர்வரிசையானது,

${\displaystyle a_{k+r}=a_{k}}$ (k போதுமான அளவு பெரியதாக இருக்க வேண்டும்)

என்பதை நிறைவு செய்தால் "அறுதியானக் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (ultimately periodic sequence) எனப்படும்^[1]

ஒரு தொடர்வரிசையின் உறுப்புகள் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுமானால் அத்தொடர்வரிசையானது, "அணுகல் காலமுறைத் தொடர்வரிசை" (asymptotically periodic sequence) எனப்படும்.

எடுத்துக்காட்டு: x₁, x₂, x₃, ... என்பது அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாக இருக்கவேண்டுமானால,

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }x_{n}-a_{n}=0.}$^[3]

என்பதை நிறைவு செய்யும் வகையில் மற்றொரு காலமுறைத் தொடர்வரிசை a₁, a₂, a₃, ... இருக்க வேண்டும்.

எடுத்துக்காட்டு:

1 / 3,  2 / 3,  1 / 4,  3 / 4,  1 / 5,  4 / 5,  ...

இதன் உறுப்புகள், 0, 1, 0, 1, 0, 1, ....என்ற காலமுறைத் தொடர்வரிசையின் உறுப்புகளை அணுகுவதால், இது ஒரு அணுகும் காலமுறைத் தொடர்வரிசையாகும்.