பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு

வடிவவியலில் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்ப்பாடு (Bretschneider's formula) என்பது ஒரு குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் வாய்ப்பாடு.

நாற்கரம் -ABCD.

இந்த வாய்ப்பாட்டின்படி குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு:^[1][2][3]

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}$

இங்கு a, b, c, d – நாற்கரத்தின் பக்கங்கள், s -நாற்கரத்தின் அரைச்சுற்றளவு, மற்றும் ${\displaystyle \alpha \,}$, ${\displaystyle \gamma \,}$ -இரண்டும் நாற்கரத்தின் எதிர்க் கோணங்கள். எதிரெதிர்க் கோணங்கள் ${\displaystyle \beta \,}$, ${\displaystyle \delta \,}$ -வாகவும் இருக்கலாம். ஏனெனில் நான்கு கோணங்களின் கூட்டுத்தொகை ${\displaystyle \alpha +\beta +\gamma +\delta =360}$ என்பதும் ${\displaystyle cos(\theta )=cos(360-\theta )}$ என்பதும் உண்மை.

பிரெட்ஷ்ணைடர் வாய்பாடு, எந்தவொரு நாற்கரத்திற்கும் பொருந்தும். இந்த வாய்பாட்டைப் பயன்படுத்துவதற்கு நாற்கரங்கள் வட்ட நாற்கரங்களாக இருக்க வேண்டிய அவசியம் இல்லை.

1842 -ல், ஜெர்மானிய கணிதவியலாளர் கார்ல் ஆண்டன் பிரெட்ஷ்ணைடர் இந்த வாய்பாட்டைக் கண்டுபிடித்தார். அதே ஆண்டில் மற்றொரு ஜெர்மன் கணிதவியலாளர் கார்ல் ஃவான் ஸ்டாட்டும் இதனைக் கண்டுபிடித்தார்.

நிறுவல்

நாற்கரத்தின் பரப்பை K எனக் குறித்தால்:

${\displaystyle {\begin{aligned}K&={\text{area of}}\triangle ADB+{\text{area of}}\triangle BDC\\&={\frac {ad\sin \alpha }{2}}+{\frac {bc\sin \gamma }{2}}.\end{aligned}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}2K=ad\sin \alpha +bc\sin \gamma .\end{aligned}}}$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

${\displaystyle 4K^{2}=(ad)^{2}\sin ^{2}\alpha +(bc)^{2}\sin ^{2}\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .\,}$ ------(1)

கொசைன் விதிப்படி:

${\displaystyle BD^{2}=a^{2}+d^{2}-2ad\cos \alpha =b^{2}+c^{2}-2bc\cos \gamma ,\,}$

${\displaystyle a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}=2ad\cos \alpha -2bc\cos \gamma ,\,}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2}}{2}}=ad\cos \alpha -bc\cos \gamma ,\,}$

வர்க்கம் காண (இருமடியாக்க):

${\displaystyle {\frac {(a^{2}+d^{2}-b^{2}-c^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}\cos ^{2}\alpha +(bc)^{2}\cos ^{2}\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .\,}$----------(2)

(1), (2) இரண்டையும் கூட்ட:

${\displaystyle 4K^{2}+{\frac {(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}}{4}}=(ad)^{2}+(bc)^{2}-2abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}$

${\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot \cos(\alpha +\gamma ).\,}$

${\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}-8abcd\cdot (2\cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)-1).\,}$

${\displaystyle 16K^{2}=-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}+4(ad)^{2}+4(bc)^{2}+8abcd-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}$

${\displaystyle 16K^{2}=(2(ad)+2(bc))^{2}-(b^{2}+c^{2}-a^{2}-d^{2})^{2}-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)\,}$

இதனைப் பின்வருமாறு எழுதலாம்:

${\displaystyle 16K^{2}=(a+b+c-d)(a+b+d-c)(a+c+d-b)(b+c+d-a)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right).}$

அரைச்சுற்றளவு:

${\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}},}$ -ஐப் பயன்படுத்த:

${\displaystyle (b+c+d-a)=2(s-a)}$

${\displaystyle (a+c+d-b)=2(s-b)}$

${\displaystyle (a+b+d-c)=2(s-c)}$

${\displaystyle (a+b+c-d)=2(s-d)}$

இம்மதிப்புகளைப் பிரதியிட:

${\displaystyle 16K^{2}=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

${\displaystyle K^{2}=(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}$

வர்க்கமூலம் காண, குவிவு நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு கிடைக்கிறது:

${\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot \cos ^{2}\left({\frac {\alpha +\gamma }{2}}\right)}}.}$

தொடர்புள்ள பிற வாய்பாடுகள்

முக்கோணத்தின் பரப்பு காணும் ஈரோனின் வாய்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட வடிவம்தான் வட்ட நாற்கரத்தின் பரப்பு காணும் பிரம்மகுப்தரின் வாய்பாடு. பிரம்மகுப்தரின் வாய்ப்பாட்டின் பொதுமைப்படுத்தப்பட்ட படிவம்தான் பிரெட்ஷ்ணைடரின் வாய்பாடு.

வெளி இணைப்புகள்

• Weisstein, Eric W., "Bretschneider's formula", MathWorld.