வகையீடு (கணிதம்)

நுண்கணிதத்தில் வகையீடு (differential) என்பது சாரா மாறி x இல் ஏற்படும் மாற்றத்தைப் பொறுத்து சார்பு y = ƒ(x) இன் மதிப்பு அடையும் மாற்றத்தின் முதன்மைப் பகுதியைக் குறிக்கும்.

வகையீடு dy இன் வரையறை:

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx,}$

இங்கு ${\displaystyle f'(x)}$ என்பது சார்பு ƒ இன் x ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழு, dx ஒரு கூடுதல் மெய்யெண் மாறி (அதாவது x மற்றும் dx ஆகிய இரு மாறிகளில் அமைந்த சார்பு dy).

ƒ இன் x ஐப் பொறுத்த வகைக்கெழுவை லைப்னிட்சின் குறியீட்டில் எழுத, வகையீடு:

${\displaystyle dy={\frac {dy}{dx}}\,dx}$

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$ எனவும் வகையீட்டைக் குறிக்கலாம்.

வரலாறு

சார்பு y = ƒ(x) இல் சாரா மாறி x இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் dx ஐப் பொறுத்து y இல் ஏற்படும் நுண்ணளவு மாற்றம் dy ஆக, வகையீடு லைப்னிட்சால் முதன்முதலாக அறிமுகப்படுத்தப்பட்டது. அதன் மூலம் x ஐப் பொறுத்த y இன் கணநேர மாறுவீதம், அதாவது வகைக்கெழு பின்வருமாறு தரப்பட்டது:

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}}$ இதுவே வகைக்கெழுவிற்கான லைப்னிட்சின் குறியீடாகும்.

இதில் dy மற்றும் dx இரண்டும் அளவில் நுண்ணியளவானவையாக இருந்தாலும் dy/dx இன் மதிப்பு நுண்ணளவினதாக இல்லாமல் ஒரு மெய்யெண்ணாக இருக்கும்.

லைப்னிட்சின் இந்த நுண்ணளவுகளின் பயன்பாடு பரவலாக விமர்சனத்துக்கு உள்ளானது. லைப்னிட்சின் நுண்ணளவுகள் இல்லாமல் வகையீட்டை வரையறுத்தவர் பிரெஞ்சுக் கணிதவியலாளர் அகஸ்டின் லூயிஸ் கோஷி.^[1][2] வேறுபாட்டு ஈவுகளின் எல்லையாக வகைக்கெழு வரையறுக்கப்பட்டு, அதிலிருந்து வகையீடு வரையறுக்கப்பட்டது.

${\displaystyle dy=f'(x)\,dx}$

இவ்வரையறையில் dy மற்றும் dx முடிவுறு மெய்யெண் மதிப்புகளை எடுக்கும் இரண்டு புது மாறிகள்^[3] லைப்னிட்சால் கூறப்பட்டது போல இவை இரண்டும் நுண்ணளவானவை அல்ல.^[4] எல்லைகள் குறித்த தற்காலத்திய கருத்துரு கார்ல் வியர்ஸ்ட்ராசினுடையதாக (Karl Weierstrass) இருப்பினும் வகையீடு குறித்த கோஷியின் கருத்து தற்கால பகுவியல் முறைமைகளில் தரமானதாகக் கருதப்படுகிறது.^[5][6]

வரையறை

 x₀ புள்ளியில் சார்பு ƒ(x) இன் வகையீடு.

வகை நுண்கணிதத்தின் நவீன முறைகளில் வகையீடு பின்வருமாறு வரையறுக்கப்படுகிறது:^[7]

x எனும் ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு ƒ(x) இன் வகையீடு df , x , Δx ஆகிய இரு சாரா மெய்யெண் மாறிகளில் அமைந்த ஒரு சார்பு.

${\displaystyle df(x,\Delta x){\stackrel {\rm {def}}{=}}f'(x)\,\Delta x.}$

df(x) அல்லது df என மாறிகளை விட்டுவிட்டும் எழுதலாம். y = ƒ(x) எனில் வகையீட்டை dy எனவும் எழுதலாம்.

dx(x, Δx) = Δx என்பதால் dx = Δx ஆகும். எனவே,

${\displaystyle df(x)=f'(x)\,dx}$

பல மாறிச் சார்புகளின் வகையீடுகள்

${\displaystyle y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),\,}$

 x₁ மாறியைப் பொறுத்த y இன் பகுதி வகையீடு,  x₁ இல் ஏற்படும் மாறுதல்  dx₁ ஆல் y இல் ஏற்படும் மாறுதலின் முதன்மைப் பகுதியாகும்.

 x₁ ஐப் பொறுத்த y இன் பகுதி வகையீடு:

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}}$

அனைத்து சாரா மாறிகளைப் பொறுத்த பகுதி வகையீடுகளின் கூடுதல் முழு வகையீடு ஆகும்:

${\displaystyle dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},}$

உயர்வரிசை வகையீடுகள்

ஒருமாறியில் அமைந்த சார்பு y = ƒ(x) இன் உயர்வரிசை வகையீடுகள்:^[8]

${\displaystyle d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=f''(x)\,(dx)^{2},}$

பொதுவாக,

${\displaystyle d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.}$

பண்புகள்

வகைக்கெழு, பகுதி வகைக்கெழு, முழு வகைக்கெழு ஆகியவற்றின் பண்புகளிலிருந்து வகையீட்டின் ஒத்த பண்புகளை நேரிடையாகப் பெறலாம். அப்பண்புகள்:^[9]

• நேரியல்பு:

a , b இரு மாறிலிகள்; ƒ , g இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle d(af+bg)=a\,df+b\,dg.}$

• பெருக்கல் விதி:

ƒ , g இரு வகையிடத்தக்க சார்புகள் எனில்,

${\displaystyle d(fg)=f\,dg+g\,df.}$

• அடுக்கு விதி:

${\displaystyle d(f^{n})=nf^{n-1}df}$

• சங்கிலி விதி:^[10]
  • y = ƒ(u) மற்றும் u = g(x) வகையிடத்தக்கவை எனில்,

${\displaystyle dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.}$

• • If y = ƒ(x₁, ..., x_n), மாறிகள்  x₁, ..., x_n அனைத்தும் மற்றொரு மாறி  t ஐச் சார்ந்திருந்தால்,

${\displaystyle {\begin{aligned}dy&={\frac {dy}{dt}}dt\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}}$